Les suites numériques

Les Suites Numériques

I. Généralités sur les suites numériques

Soit \(n_0 \in \mathbb{N}\) et \(I\) une partie de \(\mathbb{N}\) tel que \(I = \{n \in \mathbb{N} / n \geq n_0\}\).

1. Définition d’une suite

On appelle suite numérique toute fonction définie sur \(I\) (\(I \subset \mathbb{N}\))

Une suite se note \(U, V, …\)

2. Vocabulaire

Soit \(U\) une suite numérique définie sur \(I\) (\(I \subset \mathbb{N}\)).

Pour tout \(n \in \mathbb{N}\), le nombre \(U(n)\) se note \(U_n\).
La suite \(U\) se note \((U_n)_{n \in I}\) ou \((U_n)_{n \geq n_0}\).
Le nombre \(U_n\) s’appelle terme général de la suite \((U_n)_{n \geq n_0}\).
Le nombre \(U_{n_0}\) s’appelle le premier terme de la suite \((U_n)_{n \geq n_0}\).

📌 Exemple

• Le terme général de la suite des nombres pairs est \(U_n = 2n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\) et son premier terme est \(U_0 = 2 \times 0 = 0\)

• Le terme général de la suite des nombres impairs est \(U_n = 2n + 1\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\) et son premier terme est \(U_0 = 2 \times 0 + 1 = 1\)

✏️ Application

Soit \((U_n)_{n \in \mathbb{N}^*}\) une suite numérique définie par \(U_n = \dfrac{n+5}{2}\)

Calculer les trois premiers termes de \((U_n)_{n \in \mathbb{N}^*}\)
Calculer \(U_{n+1}\), \(U_{n-1}\) et \(U_{2n+1}\)
Déterminer la valeur de \(n\) (rang) telle que \(U_n = \dfrac{7}{2}\)

💡 Remarque

Il existe deux types de suites :

✓ Suite définie explicitement en fonction de rang \(n\)

Ce type permet de déterminer directement les termes de la suite en remplaçant \(n\) par des valeurs possibles.

Exemple : La suite \((U_n)_{n \in \mathbb{N}^*}\) définie par \(U_n = 2n + 3\) est une suite définie explicitement.

Telle que \(U_1 = 2 \times 1 + 3 = 5\) ; \(U_7 = 2 \times 7 + 3 = 17\) …

✓ Suite définie par une relation de récurrence

Cette suite peut être définie par son premier terme (ou par ses premiers termes) et par une relation de récurrence permettant de calculer chaque terme en fonction des termes précédents.

Exemple :

• La suite définie par \(\begin{cases} U_0 = 1 \\ U_{n+1} = 3U_n + \dfrac{1}{2} \end{cases}\) est une suite définie par récurrence.

On a \(U_1 = 3U_0 + \dfrac{1}{2} = 3 \times 1 + \dfrac{1}{2} = \dfrac{7}{2}\)

\(U_2 = 3U_1 + \dfrac{1}{2} = 3 \times \dfrac{7}{2} + \dfrac{3}{2} = \dfrac{19}{4}\)

• La suite définie par \(\begin{cases} V_1 = 2 \\ V_{n+1} = 2V_n + 3 \end{cases}\) est une suite définie par récurrence.

On a \(V_2 = 2V_1 + 3 = 2 \times 1 + 3 = 5\)

✏️ Application

Soit \((U_n)_{n \in \mathbb{N}}\) une suite numérique définie par \(\begin{cases} U_0 = 2 \\ U_{n+1} = U_n^2 + 1 \end{cases}\)

Calculer \(U_1\), \(U_2\) et \(U_3\)

II. Suite majorée – Suite minorée – Suite bornée

🎯 Activité

Soit \((U_n)_{n \in \mathbb{N}}\) une suite numérique définie par \(U_n = \dfrac{n+1}{n+2}\)

Calculer \(U_1\), \(U_2\) et \(U_3\)
Montrer que \(U_n \leq 1\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\)

📖 Définitions

Soit \((U_n)_{n \in I}\) une suite numérique.

• On dit que la suite \((U_n)_{n \in I}\) est majorée par un nombre réel \(M\) si et seulement si

\(\forall n \in I; \quad U_n \leq M\)

• On dit que la suite \((U_n)_{n \in I}\) est minorée par un nombre réel \(m\) si et seulement si

\(\forall n \in I; \quad U_n \geq m\)

• On dit que la suite \((U_n)_{n \in I}\) est bornée si elle est majorée ET minorée.

✏️ Application

Soit \((U_n)_{n \in \mathbb{N}}\) une suite numérique définie par : \(\begin{cases} U_0 = \dfrac{2}{3} \\ U_{n+1} = \dfrac{3U_n + 2}{2U_n + 3} \end{cases}\)

Calculer \(U_1\), \(U_2\) et \(U_3\)
En utilisant le raisonnement par récurrence, montrer que \((U_n)\) est majorée par 1 et minorée par 0.

⚡ Propriété

Soit \((U_n)_{n \in I}\) une suite numérique.

\((U_n)_{n \in I}\) est bornée \(\Leftrightarrow \exists k \in \mathbb{R}^+ / |U_n| \leq k\)

📌 Exemple

\(U_n = 2\cos(n) + \sin(n)\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\)

On a \(\forall n \in \mathbb{N}; |U_n| \leq 3\) donc \((U_n)\) est bornée.

III. Monotonie d’une suite numérique

📖 Définition

Soit \((U_n)_{n \in I}\) une suite numérique.

📈 On dit \((U_n)_{n \in I}\) est une suite croissante si et seulement si

\(n \leq m \Rightarrow U_n \leq U_m\) pour tout \((m \in I)(n \in I)\)

📉 On dit \((U_n)_{n \in I}\) est une suite décroissante si et seulement si

\(n \leq m \Rightarrow U_n \geq U_m\) pour tout \((m \in I)(n \in I)\)

➡️ On dit \((U_n)_{n \in I}\) est une suite constante si et seulement si

\(n \leq m \Rightarrow U_n = U_m\) pour tout \((m \in I)(n \in I)\)

⚡ Propriété

Soit \((U_n)_{n \in I}\) une suite numérique.

• \((U_n)_{n \in I}\) est une suite croissante si et seulement si

\(\forall n \in I; \quad U_{n+1} \geq U_n\)

• \((U_n)_{n \in I}\) est une suite décroissante si et seulement si

\(\forall n \in I; \quad U_{n+1} \leq U_n\)

• \((U_n)_{n \in I}\) est une suite constante si et seulement si

\(\forall n \in I; \quad U_{n+1} = U_n\)

💡 Remarque

Soit \((U_n)_{n \in I}\) une suite numérique telle que \(\forall n \in I; U_n > 0\)

• \((U_n)_{n \in I}\) est strictement croissante \(\Leftrightarrow \dfrac{U_{n+1}}{U_n} > 1\)

• \((U_n)_{n \in I}\) est strictement décroissante \(\Leftrightarrow \dfrac{U_{n+1}}{U_n} < 1\)

• \((U_n)_{n \in I}\) est croissante si elle est minorée par \(U_{n_0}\) ; et décroissante si elle est majorée par \(U_{n_0}\) pour tout \(n \geq n_0\).

✏️ Application

Étudier la monotonie de la suite \((U_n)\) dans les cas suivants :

\(U_n = \dfrac{2n – 1}{n + 4}\)
\(U_n = \left(\dfrac{1}{4}\right)^n – 3\)
\(U_n = \dfrac{n + 2}{n + 1}\)
\(\begin{cases} U_0 = 1 \\ U_{n+1} = 2U_n + 1 \end{cases}\)
\(\begin{cases} U_0 = 2 \\ U_{n+1} = 3U_n – n \end{cases}\)

IV. Suite arithmétique

1. Définition d’une suite arithmétique

🎯 Activité

Soit \((U_n)\) une suite numérique définie par \(U_n = 2n + 3\)

Calculer les quatre premiers termes de \((U_n)\). Que remarquez-vous ?
Calculer \(U_{n+1} – U_n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

📖 Définition

Soit \((U_n)_{n \in I}\) une suite numérique.

On dit que \((U_n)_{n \in I}\) est une suite arithmétique si et seulement si

\(\exists r \in \mathbb{R} / U_{n+1} = U_n + r\)

Le nombre réel \(r\) s’appelle la raison de la suite \((U_n)_{n \in I}\).

💡 Remarque

Pour montrer qu’une suite numérique \((U_n)_{n \in I}\) est arithmétique, il suffit de montrer que

\(\forall n \in I; \quad U_{n+1} – U_n = r\)

de telle sorte que \(r\) ne dépend pas de \(n\).

📌 Exemple

Soient \((U_n)\) et \((V_n)\) deux suites numériques telles que \(U_n = -4n + 1\) et \(V_n = n^2 + 2\)

Pour \((U_n)\) :

On a \(\forall n \in \mathbb{N}; U_{n+1} – U_n = (-4(n+1) + 1) – (-4n + 1) = -4n – 4 + 1 + 4n – 1 = -4\)

Donc \((U_n)\) est une suite arithmétique de raison \(r = -4\)

Pour \((V_n)\) :

On a \(\forall n \in \mathbb{N}; V_{n+1} – V_n = ((n+1)^2 + 2) – (n^2 + 2) = n^2 + 2n + 1 + 2 – n^2 – 2 = 2n + 1\)

Donc la suite \((V_n)\) n’est pas une suite arithmétique car la différence \(V_{n+1} – V_n\) dépend de \(n\).

2. Terme général d’une suite arithmétique en fonction de \(n\)

⚡ Propriété

Si \((U_n)_{n \in I}\) est une suite arithmétique de raison \(r\), alors

\(\forall (n, p) \in I^2; \quad U_n = U_p + (n – p)r\)

📌 Exemple

Soit \((U_n)\) une suite arithmétique de raison \(r = 2\) et son premier terme est \(U_0 = -3\)

On a \(U_n = U_p + (n – p)r\) donc \(U_n = U_0 + (n – 0)r = -3 + 2n\)

✏️ Application

1) Soit \((U_n)\) une suite arithmétique telle que : \(U_0 = 5\) et \(U_{25} = 15\)

Déterminer \(r\) la raison de la suite \((U_n)\).
Exprimer \(U_n\) en fonction de \(n\).
Le nombre 203 est-il un terme de la suite \((U_n)\) ? Justifier.

⭐ Propriété caractéristique d’une suite arithmétique

Si \(x\), \(y\) et \(z\) (dans cet ordre) sont trois termes consécutifs d’une suite arithmétique, alors on a :

\(y = \dfrac{x + z}{2}\)

✏️ Application

Soit \((U_n)_{n \in \mathbb{N}}\) une suite arithmétique telle que \(U_1 + U_2 + U_3 = 15\).

Calculer \(U_2\).

3. Somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique

⚡ Propriété

Si \((U_n)_{n \in I}\) est une suite arithmétique de raison \(r\), alors

\(U_p + U_{p+1} + U_{p+2} + … + U_n = \dfrac{(n – p + 1)(U_p + U_n)}{2}\)

• \(U_p\) : le premier terme de la somme

• \(U_n\) : le dernier terme de la somme

• \((n – p + 1)\) : le nombre de termes

📌 Exemple

Soit \((V_n)\) une suite arithmétique telle que \(V_n = 2n + 3\). Calculer \(S = \displaystyle\sum_{k=0}^{9} V_k\)

On a \(S = \displaystyle\sum_{k=0}^{9} V_k = \dfrac{(9 – 0 + 1)(V_0 + V_9)}{2}\)

Et on a \(V_0 = 2 \times 0 + 3 = 3\) et \(V_9 = 2 \times 9 + 3 = 21\)

Donc \(S = \dfrac{10(3 + 21)}{2} = 5 \times 24 = 120\)

✏️ Application

Soit \((U_n)\) une suite arithmétique telle que : \(U_3 = 5\) et \(U_{12} = 20\)

Déterminer \(r\) la raison de la suite \((U_n)\). Puis déduire \(U_n\) en fonction de \(n\).
Calculer \(S = U_3 + U_4 + … + U_{15}\)

V. Suite géométrique

1. Définition d’une suite géométrique

🎯 Activité

Soit \((U_n)\) une suite numérique définie par \(U_n = 4 \times 3^n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

Calculer \(\dfrac{U_1}{U_0}\), \(\dfrac{U_2}{U_1}\) et \(\dfrac{U_3}{U_2}\). Que remarquez-vous ?
Déduire \(U_{n+1}\) en fonction de \(U_n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

📖 Définition

Soit \((U_n)_{n \in I}\) une suite numérique.

On dit que \((U_n)_{n \in I}\) est une suite géométrique si et seulement si

\(\exists q \in \mathbb{R} / U_{n+1} = q \times U_n\)

Le nombre réel \(q\) s’appelle la raison de la suite \((U_n)_{n \in I}\).

📌 Exemple

Soit \((U_n)\) une suite numérique telle que \(U_n = -7 \times 5^n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

On a \(\dfrac{U_{n+1}}{U_n} = \dfrac{-7 \times 5^{n+1}}{-7 \times 5^n} = \dfrac{-7 \times 5^n \times 5}{-7 \times 5^n} = 5\)

Donc \((U_n)\) est une suite géométrique de raison \(q = 5\).

💡 Remarque

Pour montrer qu’une suite numérique \((U_n)_{n \in I}\) est géométrique, il suffit de montrer que

\(\forall n \in I; \quad \dfrac{U_{n+1}}{U_n} = q \quad (U_n \neq 0)\)

de telle sorte que \(q\) ne dépend pas de \(n\).

2. Terme général d’une suite géométrique en fonction de \(n\)

⚡ Propriété

Si \((U_n)_{n \in I}\) est une suite géométrique de raison \(q\), alors

\(\forall (n, p) \in I^2; \quad U_n = U_p \times q^{n-p}\)

💡 Remarque

Soit \((U_n)_{n \in I}\) une suite géométrique de raison \(q\).

Si \(p = 0\) alors \(U_n = U_0 \times q^n\)
Si \(p = 1\) alors \(U_n = U_1 \times q^{n-1}\)
Si \(q = 1\) alors la suite \((U_n)_{n \in I}\) est une suite constante.

✏️ Application

Soit \((U_n)\) une suite géométrique de raison \(q\) telle que \(U_1 = -2\) et \(U_4 = 5\).

Déterminer la raison de la suite \((U_n)\) puis déduire le terme général en fonction de \(n\).

⭐ Propriété caractéristique d’une suite géométrique

Si \(x\), \(y\) et \(z\) (dans cet ordre) sont trois termes consécutifs d’une suite géométrique, alors on a :

\(y^2 = x \times z\)

✏️ Application

Soit \((U_n)\) une suite géométrique telle que \(U_1 \times U_2 \times U_3 = 27\).

Calculer \(U_2\).

3. Somme de termes d’une suite géométrique

⚡ Propriété

Si \((U_n)_{n \in I}\) est une suite géométrique de raison \(q\) (\(q \neq 1\)), alors

La somme des termes consécutifs \(S = U_p + U_{p+1} + U_{p+2} + … + U_n\) est :

\(S = U_p \times \dfrac{1 – q^{n-p+1}}{1 – q}\)

✏️ Application

Soit \((U_n)\) une suite géométrique telle que \(U_0 = 2\) et \(q = -3\).

Exprimer \(U_n\) en fonction de \(n\).
Calculer \(U_1\), \(U_2\), \(U_3\) et \(U_9\)
Calculer \(S = \displaystyle\sum_{k=1}^{9} U_k\)

🎯 EXERCICE

Soit \((U_n)_{n \in \mathbb{N}}\) une suite numérique définie par \(\begin{cases} U_0 = \dfrac{1}{2} \\ U_{n+1} = \dfrac{1 + 2U_n}{5} \end{cases}\)

Calculer \(U_1\), \(U_2\) et \(U_3\)
Soit \((V_n)\) une suite numérique définie par \(V_n = U_n – \dfrac{5}{2}\)
1. Montrer que \((V_n)\) est une suite géométrique, en déterminant sa raison et son premier terme.
2. Exprimer \(V_n\) en fonction de \(n\).
3. Déduire \(U_n\) en fonction de \(n\).
4. Calculer \(S = \displaystyle\sum_{k=0}^{9} V_k\)

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