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Exercices de logarithme — Série complète et efficace pour maîtriser les fonctions logarithmes 2026
Fonctions Logarithmes – Série d’Exercices
Table of Contents
Exercice : 1
Déterminer l’ensemble de définition des fonctions suivantes :
1) \(f(x) = \dfrac{3}{1 – \ln(x)}\)
2) \(g(x) = \ln(5 – x) + \ln(x^2 – 3)\)
3) \(h(x) = \dfrac{\ln(x + 1)}{\ln^2(x)}\)
4) \(k(x) = \ln\left(\dfrac{\ln(x + 1)}{1 – \ln(x)}\right)\)
Exercice : 2
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations et les inéquations suivantes :
1) \(\ln(-x^2 + 2x) = 0\)
2) \(\ln(x + 4) + (x – 1) – \ln((x + 4)^2) = 0\)
3) \(\ln(-x^2 + 2x) > 0\)
4) \(\ln(x + 4) + (x – 1) – \ln((x + 4)^2) \leq 0\)
5) \(\ln(x) + \ln(x + 3) = 2\ln(2)\)
6) \(\sin(\ln(x)) = \sin\left(\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)\right)\)
7) \(\ln(x) + \ln(x^2 – 5) > \ln(2) + \ln(x^2 – 3)\)
8) \(\ln^2(x) – \ln(x) – 2 < 0\)
Exercice : 3
Calculer les limites suivantes :
1) \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln(x) – x\)
2) \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln\left(\sqrt{x} + x^2\right)}{x – 1} + \dfrac{x}{\ln(x)}\)
3) \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(x + 1) – x}{x^2}\)
4) \(\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{\sin(\ln(x + 1) – x)}{x^2}\)
5) \(\displaystyle\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \dfrac{\ln(\tan(x))}{\tan(x) – 1}\)
Exercice : 4
Soit la suite \((u_n)_{n > 1}\) définie par : \((\forall n \in \mathbb{N}^* \setminus \{1\})\) ; \(u_n = 1 – \dfrac{1}{n^2}\)
1) Montrer que : \((\forall n \in \mathbb{N}^* \setminus \{1\})\)
\(u_2 \times u_3 \times … \times u_n = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{n + 1}{n}\right)\)
2) Calculer en fonction de \(n\)
\(S_n = \displaystyle\sum_{k=2}^{n} \ln(u_k)\)
3) Déterminer \(\lim S_n\)
Exercice : 5
Soient \(a\) et \(b\) deux réels strictement positifs, montrer que \((\forall a > 0)\) \((\forall b > 0)\)
\(\ln(2) + \dfrac{1}{2}(\ln(a) + \ln(b)) \leq \ln(a + b)\)
Exercice : 6
Soit \(g\) la fonction numérique définie sur \(I = [a, +\infty[\) par :
\(g(x) = \dfrac{x^2 – a^2}{2ax} – \ln\left(\dfrac{x}{a}\right)\) ; avec \(a \in \mathbb{R}_+^*\)
1) Étudier les variations de \(g\)
2) Montrer que : \(\forall x \in I\)
\(\ln\left(\dfrac{x}{a}\right) < \dfrac{x^2 – a^2}{2ax}\)
3) Montrer que : \(\forall x \in I\)
\(2\dfrac{x – a}{x + a} < \ln\left(\dfrac{x}{a}\right)\)
Exercice : 7
Soient \(a\) ; \(b\) et \(c\) trois réels strictement positifs. On considère la fonction \(f\) définie par :
\(f(x) = \ln(abx) – 3\ln(a + b + x)\)
1) Étudier les variations de \(f\)
2) En déduire que : \(\forall x \in \mathbb{R}_+^*\)
\(f(x) \leq f\left(\dfrac{a + b}{2}\right)\)
3) Montrer que : \(f\left(\dfrac{a + b}{2}\right) \leq -3\ln(3)\)
4) En déduire que : \(abc \leq \left(\dfrac{a + b + c}{3}\right)^3\)
Exercice : 8
On considère la fonction \(f_n\) définie sur \(]0, +\infty[\) par :
\(f_n(x) = \dfrac{\ln x}{n} – \dfrac{1}{x^n}\) avec \(n \in \mathbb{N}^* – \{1\}\)
1) Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f_n(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f_n(x)\)
2) Calculer \(f’_n(x)\) pour tout \(x \in ]0, +\infty[\)
3) Étudier les variations de \(f_n\)
4) En déduire que l’équation \(f_n(x) = 0\) admet une solution unique \(u_n\)
Exercice : 9
Partie I
On considère la fonction \(g\) définie sur \([0, +\infty[\) par : \(g(x) = x – (x + 1)\ln(x + 1)\)
1) Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x)\)
2) Montrer que \((\forall x \in \mathbb{R}^+)\)
\(g'(x) = -\ln(x + 1)\)
3) En déduire que la fonction \(g\) est décroissante sur \(\mathbb{R}^+\), et que
\((\forall x \in \mathbb{R}^+)\) \(g(x) \leq 0\)
Partie II
On considère la fonction \(f\) définie sur \(]-1, +\infty[\) par : \(f(x) = \dfrac{\ln(x + 1) – x}{x}\)
Soit \((C_f)\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\)
avec \(||\vec{i}|| = 2cm\) et \(||\vec{j}|| = 2cm\)
1) Étudier la continuité de \(f\) au point \(x_0 = 0\) :
2) Étudier la dérivabilité de \(f\) en 0, puis donner une interprétation géométrique de ce résultat.
(Indication : \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(x + 1) – x}{x^2} = -\dfrac{1}{2}\))
3) Calculer : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)\) ; \(\displaystyle\lim_{x \to (-1)^+} f(x)\), puis donner une interprétation géométrique de ces résultats.
4
a) Montrer que :
\(\forall x \in ]-1, 0[ \cup ]0, +\infty[\)
\(f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2(x + 1)}\)
b) Étudier les variations de \(f\), puis dresser sa table de variations
5) Construire \((C_f)\) dans le repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\)
