Éléments de correction

Série : Les suites numériques

Niveau : 1^ère année Baccalauréat

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Exercice 00

La suite \((U_n)\) est définie par : \(U_n = (n+2)(3-n)\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

1) Calcul des premiers termes :

$$\begin{align*} U_0 &= (0+2)(3-0) = 2 \times 3 = 6\\ U_1 &= (1+2)(3-1) = 3 \times 2 = 6\\ U_2 &= (2+2)(3-2) = 4 \times 1 = 4\\ U_3 &= (3+2)(3-3) = 5 \times 0 = 0\\ U_4 &= (4+2)(3-4) = 6 \times (-1) = -6 \end{align*}$$

2) Expression des termes en fonction de \(n\) :

$$\begin{align*} U_{n+1} &= (n+1+2)(3-(n+1)) = (n+3)(2-n)\\ U_n^2 &= [(n+2)(3-n)]^2 = (n+2)^2(3-n)^2\\ U_{n+2} &= (n+2+2)(3-(n+2)) = (n+4)(1-n)\\ U_{3n} &= (3n+2)(3-3n) \end{align*}$$

3) Expression de \(U_{n+1}\) en fonction de \(U_n\) et \(n\) :

$$\begin{align*} U_{n+1} &= (n+3)(2-n)\\ &= (n+2+1)(3-n-1)\\ &= (n+2)(3-n) + (3-n) – (n+2)\\ &= U_n + (3-n) – (n+2)\\ &= U_n + 1 – 2n \end{align*}$$

Donc : \(U_{n+1} = U_n + 1 – 2n\)

Exercice 01

2) La suite \((U_n)\) est définie par : \(U_0 = 6\) et \(U_{n+1} = \sqrt{U_n + 6}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

a) Calcul de \(U_1\) :

$$U_1 = \sqrt{U_0 + 6} = \sqrt{6+6} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \approx 3{,}46$$

b) Montrons que \((\forall n \in \mathbb{N}) : U_n \geq 3\) par récurrence :

Initialisation : \(U_0 = 6 \geq 3\) donc la propriété est vraie pour \(n=0\).

Hérédité : On suppose que la propriété est vraie pour un certain \(n \in \mathbb{N}\), c’est-à-dire \(U_n \geq 3\), et montrons qu’elle est vraie pour \(n+1\), c’est-à-dire \(U_{n+1} \geq 3\).

Alors : \(U_n + 6 \geq 3 + 6 = 9\)

Donc : \(U_{n+1} = \sqrt{U_n + 6} \geq \sqrt{9} = 3\)

Conclusion : Par récurrence, \((\forall n \in \mathbb{N}) : U_n \geq 3\).

3) La suite \((V_n)_{n\geq 1}\) est définie par : \(V_1 = 2\) et \(V_{n+1} = 1 + \dfrac{1}{V_n}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}^*\).

a) Calcul de \(V_2\) et \(V_3\) :

$$\begin{align*} V_2 &= 1 + \frac{1}{V_1} = 1 + \frac{1}{2} = \frac{3}{2} = 1{,}5\\ V_3 &= 1 + \frac{1}{V_2} = 1 + \frac{1}{3/2} = 1 + \frac{2}{3} = \frac{5}{3} \approx 1{,}67 \end{align*}$$

b) Montrons que \((\forall n \in \mathbb{N}^*) : \dfrac{3}{2} \leq V_n \leq 2\) par récurrence :

Initialisation : \(V_1 = 2\) donc \(\frac{3}{2} \leq V_1 \leq 2\) et la propriété est vraie pour \(n=1\).

Hérédité : On suppose que la propriété est vraie pour un certain \(n \in \mathbb{N}^*\), c’est-à-dire \(\frac{3}{2} \leq V_n \leq 2\), et montrons qu’elle est vraie pour \(n+1\), c’est-à-dire \(\frac{3}{2} \leq V_{n+1} \leq 2\).

Alors : \(\dfrac{1}{2} \leq \dfrac{1}{V_n} \leq \dfrac{1}{3/2} = \dfrac{2}{3}\)

Donc : \(\dfrac{3}{2} \leq 1 + \dfrac{1}{V_n} \leq 1 + \dfrac{2}{3} = \dfrac{5}{3} < 2\)

Ainsi : \(\dfrac{3}{2} \leq V_{n+1} \leq 2\)

Conclusion : Par récurrence, la suite \((V_n)\) est bornée : \(\dfrac{3}{2} \leq V_n \leq 2\).

Exercice 02

La suite \((U_n)\) est définie par : \(U_0 = \dfrac{3}{2}\) et \(U_{n+1} = \dfrac{U_n^2 + U_n}{U_n^2 + 1}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

1) Montrons que \((\forall n \in \mathbb{N}) : U_n > 1\) par récurrence :

Initialisation : \(U_0 = \frac{3}{2} > 1\) donc la propriété est vraie pour \(n=0\).

Hérédité : On suppose que la propriété est vraie pour un certain \(n \in \mathbb{N}\), c’est-à-dire \(U_n > 1\), et montrons qu’elle est vraie pour \(n+1\), c’est-à-dire \(U_{n+1} > 1\).

$$U_{n+1} – 1 = \frac{U_n^2 + U_n}{U_n^2 + 1} – 1 = \frac{U_n^2 + U_n – U_n^2 – 1}{U_n^2 + 1} = \frac{U_n – 1}{U_n^2 + 1}$$

Puisque \(U_n > 1\), on a \(U_n – 1 > 0\) et \(U_n^2 + 1 > 0\), donc \(U_{n+1} – 1 > 0\), c’est-à-dire \(U_{n+1} > 1\).

Conclusion : Par récurrence, \((\forall n \in \mathbb{N}) : U_n > 1\).

2) Étude de la monotonie de \((U_n)\) :

$$\begin{align*} U_{n+1} – U_n &= \frac{U_n^2 + U_n}{U_n^2 + 1} – U_n = \frac{U_n^2 + U_n – U_n(U_n^2 + 1)}{U_n^2 + 1}\\ &= \frac{U_n^2 + U_n – U_n^3 – U_n}{U_n^2 + 1} = \frac{U_n^2 – U_n^3}{U_n^2 + 1} = \frac{U_n^2(1-U_n)}{U_n^2 + 1} \end{align*}$$

Puisque \(U_n > 1\), on a \(1 – U_n < 0\), donc \(U_{n+1} – U_n < 0\).

Conclusion : La suite \((U_n)\) est strictement décroissante.

3) Montrons que \(U_{n+1} – 1 \leq \dfrac{1}{2}(U_n – 1)\) :

Nous avons montré que : \(U_{n+1} – 1 = \dfrac{U_n – 1}{U_n^2 + 1}\)

Puisque \(U_n > 1\), on a \(U_n^2 > 1\), donc \(U_n^2 + 1 > 2\), c’est-à-dire \(\dfrac{1}{U_n^2 + 1} < \dfrac{1}{2}\).

Par conséquent : $$U_{n+1} – 1 = \frac{U_n – 1}{U_n^2 + 1} < \frac{U_n – 1}{2} = \frac{1}{2}(U_n – 1)$$

Conclusion : \(U_{n+1} – 1 \leq \dfrac{1}{2}(U_n – 1)\)

Exercice 03

La suite \((U_n)\) est définie par : \(U_0 = 2\) et \(U_{n+1} = \dfrac{5U_n – 4}{U_n}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

1) Montrons que \((\forall n \in \mathbb{N}) : 2 \leq U_n \leq 4\) par récurrence :

Initialisation : \(U_0 = 2\) donc \(2 \leq U_0 \leq 4\) et la propriété est vraie pour \(n=0\).

Hérédité : On suppose que la propriété est vraie pour un certain \(n \in \mathbb{N}\), c’est-à-dire \(2 \leq U_n \leq 4\), et montrons qu’elle est vraie pour \(n+1\), c’est-à-dire \(2 \leq U_{n+1} \leq 4\).

• Si \(U_n \geq 2\), alors \(5U_n \geq 10\), donc \(5U_n – 4 \geq 6\), d’où \(U_{n+1} = \frac{5U_n-4}{U_n} \geq \frac{6}{4} = \frac{3}{2}\).

Plus précisément : \(U_{n+1} – 2 = \dfrac{5U_n-4}{U_n} – 2 = \dfrac{5U_n-4-2U_n}{U_n} = \dfrac{3U_n-4}{U_n}\)

Puisque \(U_n \geq 2\), on a \(3U_n \geq 6 > 4\), donc \(U_{n+1} – 2 > 0\), alors \(U_{n+1} > 2\).

• Si \(U_n \leq 4\), alors : \(U_{n+1} – 4 = \dfrac{5U_n-4}{U_n} – 4 = \dfrac{5U_n-4-4U_n}{U_n} = \dfrac{U_n-4}{U_n}\)

Puisque \(U_n \leq 4\) et \(U_n > 0\), on a \(U_n – 4 \leq 0\), donc \(U_{n+1} – 4 \leq 0\), alors \(U_{n+1} \leq 4\).

Conclusion : Par récurrence, \(2 \leq U_n \leq 4\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

2) Étude de la monotonie :

$$\begin{align*} U_{n+1} – U_n &= \frac{5U_n – 4}{U_n} – U_n = \frac{5U_n – 4 – U_n^2}{U_n} = \frac{-U_n^2 + 5U_n – 4}{U_n}\\ &= \frac{-(U_n – 1)(U_n – 4)}{U_n} \end{align*}$$

Puisque \(2 \leq U_n \leq 4\), on a :

• \(U_n – 1 > 0\) (car \(U_n \geq 2\))
• \(U_n – 4 \leq 0\) (car \(U_n \leq 4\))
• \(U_n > 0\)

Donc : \(U_{n+1} – U_n = \dfrac{-(U_n-1)(U_n-4)}{U_n} \geq 0\)

Conclusion : La suite \((U_n)\) est croissante.

3) Montrons que \(4 – U_{n+1} \leq \dfrac{1}{2}(4 – U_n)\) :

$$4 – U_{n+1} = 4 – \frac{5U_n – 4}{U_n} = \frac{4U_n – 5U_n + 4}{U_n} = \frac{4 – U_n}{U_n}$$

Puisque \(U_n \geq 2\), on a \(\dfrac{1}{U_n} \leq \dfrac{1}{2}\).

Par conséquent : $$4 – U_{n+1} = \frac{4 – U_n}{U_n} \leq \frac{4 – U_n}{2} = \frac{1}{2}(4 – U_n)$$

Conclusion : \(4 – U_{n+1} \leq \dfrac{1}{2}(4 – U_n)\)

4) Déduisons que \(0 \leq 4 – U_n \leq \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\) par récurrence :

Montrons par récurrence que \(0 \leq 4 – U_n \leq 2\left(\frac{1}{2}\right)^n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

Initialisation : Pour \(n=0\) : $$4 – U_0 = 4 – 2 = 2 = 2 \times \left(\frac{1}{2}\right)^0 = 2 \times 1 = 2$$

Donc \(0 \leq 4 – U_0 \leq 2\left(\frac{1}{2}\right)^0\), et la propriété est vraie pour \(n=0\).

Hérédité : On suppose que la propriété est vraie pour un certain \(n \in \mathbb{N}\), c’est-à-dire \(0 \leq 4 – U_n \leq 2\left(\frac{1}{2}\right)^n\), et montrons qu’elle est vraie pour \(n+1\).

D’après la question 3, nous avons : \(4 – U_{n+1} \leq \frac{1}{2}(4 – U_n)\)

En utilisant l’hypothèse de récurrence \(4 – U_n \leq 2\left(\frac{1}{2}\right)^n\) : $$4 – U_{n+1} \leq \frac{1}{2}(4 – U_n) \leq \frac{1}{2} \times 2\left(\frac{1}{2}\right)^n = \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1} \times 2 = 2\left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}$$

De plus, puisque \(U_{n+1} \leq 4\) (d’après la question 1), on a \(4 – U_{n+1} \geq 0\).

Conclusion : Par récurrence, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : $$0 \leq 4 – U_n \leq 2\left(\frac{1}{2}\right)^n$$

Remarque : On peut aussi écrire : \(0 \leq 4 – U_n \leq \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\) pour \(n \geq 1\).

Exercice 04

La suite \((U_n)\) est définie par : \(U_0 = 5\) et \(U_{n+1} = \dfrac{4U_n – 9}{U_n – 2}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

1) Montrons que \(U_n > 3\) par récurrence :

Initialisation : \(U_0 = 5 > 3\) donc la propriété est vraie pour \(n=0\).

Hérédité : On suppose que la propriété est vraie pour un certain \(n \in \mathbb{N}\), c’est-à-dire \(U_n > 3\), et montrons qu’elle est vraie pour \(n+1\), c’est-à-dire \(U_{n+1} > 3\).

$$U_{n+1} – 3 = \frac{4U_n – 9}{U_n – 2} – 3 = \frac{4U_n – 9 – 3(U_n – 2)}{U_n – 2} = \frac{4U_n – 9 – 3U_n + 6}{U_n – 2} = \frac{U_n – 3}{U_n – 2}$$

Si \(U_n > 3\), alors \(U_n – 3 > 0\) et \(U_n – 2 > 1 > 0\), donc \(U_{n+1} – 3 > 0\), c’est-à-dire \(U_{n+1} > 3\).

Conclusion : Par récurrence, \(U_n > 3\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

2) On pose \(W_n = \dfrac{1}{U_n – 3}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

a) Montrons que \((W_n)\) est une suite arithmétique :

$$\begin{align*} W_{n+1} &= \frac{1}{U_{n+1} – 3} = \frac{1}{\frac{U_n-3}{U_n-2}} = \frac{U_n – 2}{U_n – 3}\\ &= \frac{(U_n – 3) + 1}{U_n – 3} = 1 + \frac{1}{U_n – 3} = 1 + W_n \end{align*}$$

Donc : \(W_{n+1} = W_n + 1\)

Conclusion : \((W_n)\) est une suite arithmétique de raison \(r = 1\).

b) Expression de \(W_n\) et \(U_n\) en fonction de \(n\) :

$$W_0 = \frac{1}{U_0 – 3} = \frac{1}{5-3} = \frac{1}{2}$$

Puisque \((W_n)\) est arithmétique de raison 1 et de premier terme \(W_0 = \frac{1}{2}\) :

$$W_n = W_0 + nr = \frac{1}{2} + n = \frac{2n+1}{2}$$

De \(W_n = \dfrac{1}{U_n – 3}\), on tire :

$$U_n – 3 = \frac{1}{W_n} = \frac{2}{2n+1}$$

$$U_n = 3 + \frac{2}{2n+1} = \frac{3(2n+1) + 2}{2n+1} = \frac{6n+5}{2n+1}$$

c) Calcul de la somme \(S_n = W_0 + W_1 + \cdots + W_n\) :

La somme des \(n+1\) premiers termes d’une suite arithmétique est :

$$\begin{align*} S_n &= (n+1) \times \frac{W_0 + W_n}{2} = (n+1) \times \frac{\frac{1}{2} + \frac{2n+1}{2}}{2}\\ &= (n+1) \times \frac{\frac{2n+2}{2}}{2} = (n+1) \times \frac{2n+2}{4}\\ &= (n+1) \times \frac{2(n+1)}{4} = \frac{2(n+1)^2}{4} = \frac{(n+1)^2}{2} \end{align*}$$

$$S_n = \frac{(n+1)^2}{2}$$

d) Montrons que \((U_n)\) est décroissante :

$$\begin{align*} U_{n+1} – U_n &= \frac{6(n+1) + 5}{2(n+1) + 1} – \frac{6n+5}{2n+1} = \frac{6n+11}{2n+3} – \frac{6n+5}{2n+1}\\ &= \frac{(6n+11)(2n+1) – (6n+5)(2n+3)}{(2n+3)(2n+1)} \end{align*}$$

Numérateur :

$$\begin{align*} &= (6n+11)(2n+1) – (6n+5)(2n+3)\\ &= 12n^2 + 6n + 22n + 11 – (12n^2 + 18n + 10n + 15)\\ &= 12n^2 + 28n + 11 – 12n^2 – 28n – 15\\ &= -4 \end{align*}$$

Donc : \(U_{n+1} – U_n = \dfrac{-4}{(2n+3)(2n+1)} < 0\)

Conclusion : La suite \((U_n)\) est strictement décroissante.

Exercice 05

1) Soit \((U_n)\) une suite arithmétique de raison \(r = 2\) et de premier terme \(U_0 = -5\).

a) Calcul de \(U_{10}\) et \(U_{30}\) :

Rappel : Le terme général d’une suite arithmétique de premier terme \(U_p\) et de raison \(r\) est : $$U_n = U_p + (n-p)r$$ Pour une suite arithmétique de premier terme \(U_0\) et de raison \(r\) : \(U_n = U_0 + nr\)

Application : Avec \(U_0 = -5\) et \(r = 2\) :

$$\begin{align*} U_{10} &= U_0 + 10r = -5 + 10(2) = -5 + 20 = 15\\ U_{30} &= U_0 + 30r = -5 + 30(2) = -5 + 60 = 55 \end{align*}$$

b) Calcul de \(S = U_0 + U_1 + \cdots + U_{30}\) :

Rappel : La somme des termes consécutifs d’une suite arithmétique de \(U_p\) à \(U_n\) (avec \(n \geq p\)) est : $$S = \sum_{k=p}^{n} U_k = (n-p+1) \times \frac{U_p + U_n}{2}$$

Application : La somme des 31 premiers termes (de \(U_0\) à \(U_{30}\)) est :

$$S = (30-0+1) \times \frac{U_0 + U_{30}}{2} = 31 \times \frac{-5+55}{2} = 31 \times \frac{50}{2} = 31 \times 25 = 775$$

2) Soit \((V_n)_{n\geq 1}\) une suite arithmétique telle que \(V_5 = -12\) et \(V_{11} = -30\).

a) Calcul de la raison et du premier terme :

Pour une suite arithmétique : \(V_n = V_1 + (n-1)r\)

$$V_{11} – V_5 = [V_1 + 10r] – [V_1 + 4r] = 6r$$

$$-30 – (-12) = 6r \Rightarrow -18 = 6r \Rightarrow r = -3$$

De \(V_5 = V_1 + 4r\) :

$$-12 = V_1 + 4(-3) \Rightarrow -12 = V_1 – 12 \Rightarrow V_1 = 0$$

b) Calcul de \(S = \displaystyle\sum_{k=5}^{11} V_k\) :

Rappel : La somme de \(V_p\) à \(V_n\) est : \(S = (n-p+1) \times \dfrac{V_p + V_n}{2}\)

Application :

$$\begin{align*} S &= V_5 + V_6 + \cdots + V_{11} = (11-5+1) \times \frac{V_5 + V_{11}}{2}\\ &= 7 \times \frac{-12 + (-30)}{2} = 7 \times \frac{-42}{2} = 7 \times (-21) = -147 \end{align*}$$

Exercice 06

La suite \((U_n)\) est définie par : \(U_0 = 2\) et \(U_{n+1} = \dfrac{3}{2}U_n + 1\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

On pose \(V_n = U_n + 2\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

1) Calcul de \(U_1\) et \(V_0\) :

$$\begin{align*} U_1 &= \frac{3}{2}U_0 + 1 = \frac{3}{2}(2) + 1 = 3 + 1 = 4\\ V_0 &= U_0 + 2 = 2 + 2 = 4 \end{align*}$$

2) Montrons que \((V_n)\) est une suite géométrique :

$$V_{n+1} = U_{n+1} + 2 = \frac{3}{2}U_n + 1 + 2 = \frac{3}{2}U_n + 3 = \frac{3}{2}(U_n + 2) = \frac{3}{2}V_n$$

Conclusion : \((V_n)\) est une suite géométrique de raison \(q = \dfrac{3}{2}\) et de premier terme \(V_0 = 4\).

3) Expression de \(V_n\) et \(U_n\) en fonction de \(n\) :

Rappel : Le terme général d’une suite géométrique de premier terme \(V_p\) et de raison \(q\) est : $$V_n = V_p \times q^{n-p}$$ Pour une suite géométrique de premier terme \(V_0\) et de raison \(q\) : \(V_n = V_0 \times q^n\)

Application : Avec \(V_0 = 4\) et \(q = \dfrac{3}{2}\) :

$$V_n = 4 \times \left(\frac{3}{2}\right)^n$$

De \(V_n = U_n + 2\), on tire :

$$U_n = V_n – 2 = 4 \times \left(\frac{3}{2}\right)^n – 2$$

4) Calcul de \(S_n = V_0 + V_1 + \cdots + V_n\) :

Rappel : La somme des termes consécutifs d’une suite géométrique de \(V_p\) à \(V_n\) (avec \(n \geq p\)) et de raison \(q \neq 1\) est : $$S = \sum_{k=p}^{n} V_k = V_p \times \frac{1 – q^{n-p+1}}{1-q}$$ Pour une somme de \(V_0\) à \(V_n\) : \(S_n = V_0 \times \dfrac{1 – q^{n+1}}{1-q}\)

Application : Avec \(V_0 = 4\), \(q = \dfrac{3}{2}\) et \(q \neq 1\) :

$$\begin{align*} S_n &= V_0 \times \frac{1 – q^{n+1}}{1-q} = 4 \times \frac{1 – \left(\frac{3}{2}\right)^{n+1}}{1 – \frac{3}{2}}\\ &= 4 \times \frac{1 – \left(\frac{3}{2}\right)^{n+1}}{-\frac{1}{2}} = 4 \times (-2) \times \left[1 – \left(\frac{3}{2}\right)^{n+1}\right]\\ &= -8 \times \left[1 – \left(\frac{3}{2}\right)^{n+1}\right] = 8\left[\left(\frac{3}{2}\right)^{n+1} – 1\right] \end{align*}$$

$$S_n = 8\left[\left(\frac{3}{2}\right)^{n+1} – 1\right]$$

Exercice 07

1) Soit \((U_n)\) une suite géométrique de raison \(q = 3\) et de premier terme \(U_1 = -2\).

Calcul de \(S = U_1 + U_2 + \cdots + U_{10}\) :

Rappel : La somme de \(U_p\) à \(U_n\) d’une suite géométrique de raison \(q \neq 1\) est : $$S = U_p \times \frac{1 – q^{n-p+1}}{1-q}$$

Application : Pour la somme de \(U_1\) à \(U_{10}\) (10 termes) avec \(U_1 = -2\) et \(q = 3\) :

$$\begin{align*} S &= U_1 \times \frac{1 – q^{10}}{1-q} = (-2) \times \frac{1 – 3^{10}}{1-3} = (-2) \times \frac{1 – 59049}{-2}\\ &= \frac{(-2)(1 – 59049)}{-2} = 1 – 59049 = -59048 \end{align*}$$

Ou bien : \(S = (-2) \times \dfrac{59049-1}{3-1} = (-2) \times \dfrac{59048}{2} = -59048\)

2) Soit \((V_n)\) une suite géométrique de raison \(q = \dfrac{1}{2}\) telle que \(V_3 = 5\).

Calcul de \(S’ = V_3 + V_4 + \cdots + V_{15}\) :

Rappel : La somme de \(V_p\) à \(V_n\) d’une suite géométrique de raison \(q \neq 1\) est : $$S = V_p \times \frac{1 – q^{n-p+1}}{1-q}$$

Application : Pour la somme de \(V_3\) à \(V_{15}\) : il y a \(15-3+1 = 13\) termes.

Avec \(V_3 = 5\) et \(q = \dfrac{1}{2}\) :

$$\begin{align*} S’ &= V_3 \times \frac{1 – q^{13}}{1-q} = 5 \times \frac{1 – \left(\frac{1}{2}\right)^{13}}{1 – \frac{1}{2}} = 5 \times \frac{1 – \frac{1}{8192}}{\frac{1}{2}}\\ &= 5 \times 2 \times \left(1 – \frac{1}{8192}\right) = 10 \times \frac{8191}{8192} = \frac{81910}{8192} = \frac{40955}{4096} \approx 9{,}9988 \end{align*}$$

Exercice 08

La suite \((U_n)\) est définie par : \(U_0 = 0\) et \(U_{n+1} = \dfrac{U_n – 3}{U_n + 5}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

1) Calcul de \(U_1\) :

$$U_1 = \frac{U_0 – 3}{U_0 + 5} = \frac{0-3}{0+5} = \frac{-3}{5} = -0{,}6$$

2) Montrons que \(U_n > -1\) par récurrence :

Initialisation : \(U_0 = 0 > -1\) donc la propriété est vraie pour \(n=0\).

Hérédité : On suppose que la propriété est vraie pour un certain \(n \in \mathbb{N}\), c’est-à-dire \(U_n > -1\), et montrons qu’elle est vraie pour \(n+1\), c’est-à-dire \(U_{n+1} > -1\).

$$U_{n+1} + 1 = \frac{U_n – 3}{U_n + 5} + 1 = \frac{U_n – 3 + U_n + 5}{U_n + 5} = \frac{2U_n + 2}{U_n + 5} = \frac{2(U_n + 1)}{U_n + 5}$$

Si \(U_n > -1\), alors \(U_n + 1 > 0\) et \(U_n + 5 > 4 > 0\), donc \(U_{n+1} + 1 > 0\), c’est-à-dire \(U_{n+1} > -1\).

Conclusion : Par récurrence, \(U_n > -1\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

3) a) Vérification de l’identité :

$$\begin{align*} U_{n+1} – U_n &= \frac{U_n – 3}{U_n + 5} – U_n = \frac{U_n – 3 – U_n(U_n + 5)}{U_n + 5}\\ &= \frac{U_n – 3 – U_n^2 – 5U_n}{U_n + 5} = \frac{-U_n^2 – 4U_n – 3}{U_n + 5}\\ &= \frac{-(U_n^2 + 4U_n + 3)}{U_n + 5} = \frac{-(U_n + 1)(U_n + 3)}{U_n + 5} \end{align*}$$

Vérification confirmée.

4) On considère la suite \((V_n)\) définie par : \(V_n = \dfrac{U_n + 1}{U_n + 3}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

a) Montrons que \((V_n)\) est géométrique de raison \(q = \dfrac{1}{2}\) :

$$V_{n+1} = \frac{U_{n+1} + 1}{U_{n+1} + 3} = \frac{\frac{U_n-3}{U_n+5} + 1}{\frac{U_n-3}{U_n+5} + 3}$$

Numérateur : \(\dfrac{U_n – 3 + U_n + 5}{U_n + 5} = \dfrac{2U_n + 2}{U_n + 5}\)

Dénominateur : \(\dfrac{U_n – 3 + 3(U_n + 5)}{U_n + 5} = \dfrac{U_n – 3 + 3U_n + 15}{U_n + 5} = \dfrac{4U_n + 12}{U_n + 5}\)

$$V_{n+1} = \frac{2U_n + 2}{4U_n + 12} = \frac{2(U_n + 1)}{4(U_n + 3)} = \frac{U_n + 1}{2(U_n + 3)} = \frac{1}{2} \times \frac{U_n + 1}{U_n + 3} = \frac{1}{2}V_n$$

Calcul de \(V_0\) :

$$V_0 = \frac{U_0 + 1}{U_0 + 3} = \frac{0+1}{0+3} = \frac{1}{3}$$

Conclusion : \((V_n)\) est géométrique de raison \(q = \dfrac{1}{2}\) et de premier terme \(V_0 = \dfrac{1}{3}\).

b) Expression de \(V_n\) en fonction de \(n\) :

$$V_n = V_0 \times q^n = \frac{1}{3} \times \left(\frac{1}{2}\right)^n = \frac{1}{3 \times 2^n}$$

c) Expression de \(U_n\) en fonction de \(n\) :

De \(V_n = \dfrac{U_n + 1}{U_n + 3}\), on a :

$$\begin{align*} V_n(U_n + 3) &= U_n + 1\\ V_nU_n + 3V_n &= U_n + 1\\ V_nU_n – U_n &= 1 – 3V_n\\ U_n(V_n – 1) &= 1 – 3V_n\\ U_n &= \frac{1 – 3V_n}{V_n – 1} \end{align*}$$

En remplaçant \(V_n = \dfrac{1}{3 \times 2^n}\) :

$$\begin{align*} U_n &= \frac{1 – 3 \times \frac{1}{3 \times 2^n}}{\frac{1}{3 \times 2^n} – 1} = \frac{1 – \frac{1}{2^n}}{\frac{1-3 \times 2^n}{3 \times 2^n}} = \frac{\frac{2^n-1}{2^n}}{\frac{1-3 \times 2^n}{3 \times 2^n}}\\ &= \frac{2^n – 1}{2^n} \times \frac{3 \times 2^n}{1 – 3 \times 2^n} = \frac{3(2^n – 1)}{1 – 3 \times 2^n} \end{align*}$$

$$U_n = \frac{3(2^n – 1)}{1 – 3 \times 2^n} = \frac{3(1 – 2^n)}{3 \times 2^n – 1}$$ Forme alternative : \(U_n = \dfrac{2^n – 1}{1 – 3 \times 2^{n-1}}\)

4)

a) Montrons que \(U_{n+1} + 1 \leq \dfrac{1}{2}(U_n + 1)\) :

Nous avons établi que : \(U_{n+1} + 1 = \dfrac{2(U_n + 1)}{U_n + 5}\)

Puisque \(U_n > -1\), on a \(U_n + 5 > 4\), donc \(\dfrac{1}{U_n + 5} < \dfrac{1}{4}\).

Donc :

$$U_{n+1} + 1 = \frac{2(U_n + 1)}{U_n + 5} < \frac{2(U_n + 1)}{4} = \frac{U_n + 1}{2} = \frac{1}{2}(U_n + 1)$$

Conclusion : \(U_{n+1} + 1 \leq \dfrac{1}{2}(U_n + 1)\)

b) Déduisons que \(U_n + 1 \leq \left(\dfrac{1}{2}\right)^n\) par récurrence :

Montrons par récurrence que \(U_n + 1 \leq \left(\frac{1}{2}\right)^n\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

Initialisation : Pour \(n=0\) :

$$U_0 + 1 = 0 + 1 = 1 = \left(\frac{1}{2}\right)^0$$

Donc \(U_0 + 1 \leq \left(\frac{1}{2}\right)^0\), et la propriété est vraie pour \(n=0\).

Hérédité : On suppose que la propriété est vraie pour un certain \(n \in \mathbb{N}\), c’est-à-dire \(U_n + 1 \leq \left(\frac{1}{2}\right)^n\), et montrons qu’elle est vraie pour \(n+1\), c’est-à-dire \(U_{n+1} + 1 \leq \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}\).

D’après la question 4a), nous avons : \(U_{n+1} + 1 \leq \frac{1}{2}(U_n + 1)\)

En utilisant l’hypothèse de récurrence \(U_n + 1 \leq \left(\frac{1}{2}\right)^n\) :

$$U_{n+1} + 1 \leq \frac{1}{2}(U_n + 1) \leq \frac{1}{2} \times \left(\frac{1}{2}\right)^n = \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}$$

Donc : \(U_{n+1} + 1 \leq \left(\frac{1}{2}\right)^{n+1}\)

Conclusion : Par récurrence, pour tout \(n \in \mathbb{N}\) : $$U_n + 1 \leq \left(\frac{1}{2}\right)^n$$

Exercice 09

La suite \((U_n)\) est définie par : \(U_0 = 5\) et \(U_{n+1} = \dfrac{5U_n – 4}{U_n}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

1) a) Calcul de \(U_1\) :

$$U_1 = \frac{5U_0 – 4}{U_0} = \frac{5(5) – 4}{5} = \frac{25-4}{5} = \frac{21}{5} = 4{,}2$$

b) Montrons que \(U_n > 4\) par récurrence :

Initialisation : \(U_0 = 5 > 4\) donc la propriété est vraie pour \(n=0\).

Hérédité : On suppose que la propriété est vraie pour un certain \(n \in \mathbb{N}\), c’est-à-dire \(U_n > 4\), et montrons qu’elle est vraie pour \(n+1\), c’est-à-dire \(U_{n+1} > 4\).

$$U_{n+1} – 4 = \frac{5U_n – 4}{U_n} – 4 = \frac{5U_n – 4 – 4U_n}{U_n} = \frac{U_n – 4}{U_n}$$

Si \(U_n > 4\), alors \(U_n – 4 > 0\) et \(U_n > 0\), donc \(U_{n+1} – 4 > 0\), c’est-à-dire \(U_{n+1} > 4\).

Conclusion : Par récurrence, \(U_n > 4\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

2) a) Vérification de l’identité :

$$\begin{align*} U_{n+1} – U_n &= \frac{5U_n – 4}{U_n} – U_n = \frac{5U_n – 4 – U_n^2}{U_n} = \frac{-U_n^2 + 5U_n – 4}{U_n}\\ &= \frac{-(U_n^2 – 5U_n + 4)}{U_n} = \frac{-(U_n – 1)(U_n – 4)}{U_n} \end{align*}$$

Vérification confirmée.

b) Monotonie de \((U_n)\) :

Puisque \(U_n > 4\), on a :

• \(U_n – 1 > 0\)
• \(U_n – 4 > 0\)
• \(U_n > 0\)

Donc : \(U_{n+1} – U_n = \dfrac{-(U_n – 1)(U_n – 4)}{U_n} < 0\)

Conclusion : La suite \((U_n)\) est strictement décroissante.

3) On considère la suite \((V_n)\) définie par : \(V_n = \dfrac{U_n – 4}{U_n – 1}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\).

a) Montrons que \((V_n)\) est géométrique de raison \(q = \dfrac{1}{4}\) :

$$V_{n+1} = \frac{U_{n+1} – 4}{U_{n+1} – 1} = \frac{\frac{5U_n-4}{U_n} – 4}{\frac{5U_n-4}{U_n} – 1}$$

Numérateur : \(\dfrac{5U_n – 4 – 4U_n}{U_n} = \dfrac{U_n – 4}{U_n}\)

Dénominateur : \(\dfrac{5U_n – 4 – U_n}{U_n} = \dfrac{4U_n – 4}{U_n} = \dfrac{4(U_n – 1)}{U_n}\)

$$V_{n+1} = \frac{\frac{U_n-4}{U_n}}{\frac{4(U_n-1)}{U_n}} = \frac{U_n – 4}{4(U_n – 1)} = \frac{1}{4} \times \frac{U_n – 4}{U_n – 1} = \frac{1}{4}V_n$$

Calcul de \(V_0\) :

$$V_0 = \frac{U_0 – 4}{U_0 – 1} = \frac{5-4}{5-1} = \frac{1}{4} = 0{,}25$$

Conclusion : \((V_n)\) est géométrique de raison \(q = \dfrac{1}{4}\) et de premier terme \(V_0 = \dfrac{1}{4}\).

b) Expression de \(V_n\) en fonction de \(n\) :

$$V_n = V_0 \times q^n = \frac{1}{4} \times \left(\frac{1}{4}\right)^n = \frac{1}{4^{n+1}} = \left(\frac{1}{4}\right)^{n+1}$$ Ou : \(V_n = \dfrac{1 – 4^{n+2}}{4^{n+1}}\) Forme plus simple : \(V_n = \dfrac{1}{4^{n+1}}\)

c) Expression de \(U_n\) en fonction de \(n\) :

De \(V_n = \dfrac{U_n – 4}{U_n – 1}\), on a :

$$\begin{align*} V_n(U_n – 1) &= U_n – 4\\ V_nU_n – V_n &= U_n – 4\\ V_nU_n – U_n &= V_n – 4\\ U_n(V_n – 1) &= V_n – 4\\ U_n &= \frac{V_n – 4}{V_n – 1} \end{align*}$$

En remplaçant \(V_n = \dfrac{1}{4^{n+1}}\) :

$$\begin{align*} U_n &= \frac{\frac{1}{4^{n+1}} – 4}{\frac{1}{4^{n+1}} – 1} = \frac{\frac{1-4 \times 4^{n+1}}{4^{n+1}}}{\frac{1-4^{n+1}}{4^{n+1}}} = \frac{1 – 4^{n+2}}{1 – 4^{n+1}} \end{align*}$$

$$U_n = \frac{1 – 4^{n+2}}{1 – 4^{n+1}}$$ Forme alternative : \(U_n = \dfrac{4^{n+2} – 1}{4^{n+1} – 1}\)

4) On pose \(S_n = V_0 + V_1 + \cdots + V_{n-1}\) pour \(n \in \mathbb{N}^*\).

Montrons que \(S_n = \dfrac{1}{3}\left(1 – \left(\dfrac{1}{4}\right)^n\right)\) :

La somme des \(n\) premiers termes (de \(V_0\) à \(V_{n-1}\)) d’une suite géométrique est :

$$\begin{align*} S_n &= V_0 \times \frac{1 – q^n}{1-q} = \frac{1}{4} \times \frac{1 – \left(\frac{1}{4}\right)^n}{1 – \frac{1}{4}}\\ &= \frac{1}{4} \times \frac{1 – \left(\frac{1}{4}\right)^n}{\frac{3}{4}} = \frac{1}{4} \times \frac{4}{3} \times \left[1 – \left(\frac{1}{4}\right)^n\right]\\ &= \frac{1}{3}\left[1 – \left(\frac{1}{4}\right)^n\right] \end{align*}$$

$$S_n = \frac{1}{3}\left[1 – \left(\frac{1}{4}\right)^n\right]$$

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— Fin de la correction —

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Lycée : SIDI AMR OUHALLI | Correction — Les suites numériques | Prof : H.AIT ISSOUMOUR