Correction Complète – Devoir Surveillé N°1

Mathématiques – 1ère Bac Lettres et Sciences Humaines

Année Scolaire 2025-2026 | Professeur : H.Ait Issoumour

Correction Détaillée avec Toutes les Étapes

📚 Introduction

Cette correction complète du devoir surveillé N°1 est conforme aux orientations pédagogiques officielles du Ministère de l’Éducation Nationale marocain pour la filière Lettres et Sciences Humaines.

Chaque exercice est résolu avec rigueur, en détaillant toutes les étapes de raisonnement, les justifications nécessaires et les rappels théoriques importants.

Barème total : 20 points (4 + 11 + 5)

Exercice 1 : Logique Mathématique (4 points)

Question 1 : Déterminer la valeur de vérité des propositions P₁ et P₂ (2 points)

Énoncé :

P₁ : ” 17 est un nombre impair et -8 + 3 = 5 “

P₂ : ” (∃x ∈ ℕ) : x² – x – 2 = 0 “

📌 Analyse de P₁

Étape 1 : Décomposition de la proposition

P₁ est une proposition composée avec le connecteur logique “et” (conjonction)

P₁ = A ∧ B où :

• A : “17 est un nombre impair”
• B : “-8 + 3 = 5”

Étape 2 : Vérification de A

17 = 2 × 8 + 1, donc 17 est bien impair

✅ A est VRAIE

Étape 3 : Vérification de B

-8 + 3 = -5 ≠ 5

❌ B est FAUSSE

Étape 4 : Table de vérité du “et”

Pour que A ∧ B soit vraie, il faut que A ET B soient toutes les deux vraies

Ici : VRAI ∧ FAUX = FAUX

Réponse : P₁ est FAUSSE (F)

📌 Analyse de P₂

Étape 1 : Compréhension de la proposition

P₂ : “Il existe au moins un nombre naturel x tel que x² – x – 2 = 0”

C’est une proposition existentielle (quantificateur ∃)

Étape 2 : Résolution de l’équation x² – x – 2 = 0

Méthode : Calcul du discriminant

Δ = b² – 4ac = (-1)² – 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9 > 0

L’équation a deux solutions réelles :

x₁ = (1 – 3)/2 = -2/2 = -1
x₂ = (1 + 3)/2 = 4/2 = 2

Étape 3 : Vérification dans ℕ

x₁ = -1 ∉ ℕ (les nombres naturels sont positifs ou nuls)

x₂ = 2 ∈ ℕ ✅

Étape 4 : Conclusion

Il existe bien un nombre naturel (x = 2) qui vérifie l’équation

Réponse : P₂ est VRAIE (V)

💡 Rappel important : Une proposition existentielle est vraie s’il existe AU MOINS un élément qui la vérifie. Ici, x = 2 suffit à rendre P₂ vraie.

Question 2 : Négation des propositions A₁ et A₂ (2 points)

Énoncé :

A₁ : ” (∀x ∈ ℝ) : 4x² + 14 ≠ 7 “

A₂ : ” (∃b ∈ ℝ) : b + 4 ∉ ℕ “

📌 Négation de A₁

Étape 1 : Règles de négation

¬(∀x, P(x)) ≡ ∃x, ¬P(x)

La négation d’une proposition universelle donne une proposition existentielle

Étape 2 : Application

A₁ : (∀x ∈ ℝ) : 4x² + 14 ≠ 7

¬A₁ : (∃x ∈ ℝ) : ¬(4x² + 14 ≠ 7)

¬A₁ : (∃x ∈ ℝ) : 4x² + 14 = 7

Réponse : ¬A₁ = ” (∃x ∈ ℝ) : 4x² + 14 = 7 “

📌 Négation de A₂

Étape 1 : Règles de négation

¬(∃x, P(x)) ≡ ∀x, ¬P(x)

La négation d’une proposition existentielle donne une proposition universelle

Étape 2 : Application

A₂ : (∃b ∈ ℝ) : b + 4 ∉ ℕ

¬A₂ : (∀b ∈ ℝ) : ¬(b + 4 ∉ ℕ)

¬A₂ : (∀b ∈ ℝ) : b + 4 ∈ ℕ

Réponse : ¬A₂ = ” (∀b ∈ ℝ) : b + 4 ∈ ℕ “

💡 Tableau récapitulatif des négations :

Quantificateur	Négation	Symbole
Pour tout (∀)	Il existe (∃)	∀ → ∃
Il existe (∃)	Pour tout (∀)	∃ → ∀
= (égal)	≠ (différent)	= → ≠
∈ (appartient)	∉ (n’appartient pas)	∈ → ∉

Exercice 2 : Équations et Inéquations (11 points)

Question 1 : Résoudre 7x + 5 = 11 + x (2 points)

📌 Résolution

Étape 1 : Regrouper les termes en x à gauche

7x + 5 = 11 + x
7x – x = 11 – 5

Étape 2 : Simplifier

6x = 6

Étape 3 : Isoler x

x = 6/6 = 1

Étape 4 : Vérification (toujours recommandée)

Pour x = 1 :

7(1) + 5 = 7 + 5 = 12

11 + 1 = 12

✅ L’égalité est vérifiée

Réponse : S = {1}

Question 2 : Résoudre x – 5 ≤ 1 – 2x (2 points)

📌 Résolution

Étape 1 : Regrouper les termes en x à gauche

x – 5 ≤ 1 – 2x
x + 2x ≤ 1 + 5

Étape 2 : Simplifier

3x ≤ 6

Étape 3 : Diviser par 3 (nombre positif, le sens reste ≤)

x ≤ 2

Étape 4 : Représentation sur une droite graduée

────────●═════▶

2

Le point x = 2 est inclus (disque plein ●)

Réponse : S = ]-∞, 2]

⚠️ Attention : Lorsqu’on multiplie ou divise une inéquation par un nombre négatif, on doit inverser le sens de l’inégalité. Ici, on divise par 3 (positif), donc le sens reste inchangé.

Question 3 : Équation du second degré (7 points)

Équation : (E) : 2x² – x – 3 = 0

📌 a) Calcul du discriminant Δ (1.5 points)

Rappel de la formule :

Pour une équation ax² + bx + c = 0, le discriminant est :

Δ = b² – 4ac

Identification des coefficients :

Dans 2x² – x – 3 = 0 :

• a = 2
• b = -1
• c = -3

Calcul :

Δ = (-1)² – 4(2)(-3)
Δ = 1 – 4 × 2 × (-3)
Δ = 1 + 24
Δ = 25

Réponse : Δ = 25

📌 b) Résolution de l’équation (E) (1.5 points)

Analyse du discriminant :

Δ = 25 > 0 ⇒ L’équation a deux solutions réelles distinctes

Formules des solutions :

x₁ = (-b – √Δ)/(2a)
x₂ = (-b + √Δ)/(2a)

Calcul de √Δ :

√25 = 5

Calcul de x₁ :

x₁ = (-(-1) – 5)/(2×2)
x₁ = (1 – 5)/4
x₁ = -4/4
x₁ = -1

Calcul de x₂ :

x₂ = (-(-1) + 5)/(2×2)
x₂ = (1 + 5)/4
x₂ = 6/4
x₂ = 3/2

Vérification :

Pour x = -1 : 2(-1)² – (-1) – 3 = 2 + 1 – 3 = 0 ✅

Pour x = 3/2 : 2(3/2)² – 3/2 – 3 = 2(9/4) – 3/2 – 3 = 9/2 – 3/2 – 6/2 = 0 ✅

Réponse : S = {-1 ; 3/2}

📌 c) Factorisation de 2x² – x – 3 (1.5 points)

Formule de factorisation :

Si x₁ et x₂ sont les racines de ax² + bx + c, alors :

ax² + bx + c = a(x – x₁)(x – x₂)

Application :

Avec a = 2, x₁ = -1 et x₂ = 3/2 :

2x² – x – 3 = 2(x – (-1))(x – 3/2)
= 2(x + 1)(x – 3/2)

Forme simplifiée (facultatif) :

= 2(x + 1)(x – 3/2)
= (x + 1) × 2(x – 3/2)
= (x + 1)(2x – 3)

Vérification par développement :

(x + 1)(2x – 3) = 2x² – 3x + 2x – 3 = 2x² – x – 3 ✅

Réponse : 2x² – x – 3 = (x + 1)(2x – 3)

📌 d) Résolution des inéquations (2.5 points)

Méthode : Tableau de signes

Étape 1 : On utilise la forme factorisée

2x² – x – 3 = (x + 1)(2x – 3)

Étape 2 : Racines et signes des facteurs

• x + 1 = 0 ⇒ x = -1
• 2x – 3 = 0 ⇒ x = 3/2

Étape 3 : Tableau de signes

x	-∞		-1		3/2		+∞
x + 1		−	0	+	+	+
2x – 3		−	−	−	0	+
2x²-x-3		+	0	−	0	+

Étape 4 : Lecture du tableau

Pour 2x² – x – 3 < 0 :

On cherche où l’expression est strictement négative (−)

D’après le tableau : entre -1 et 3/2 (valeurs exclues)

Pour 2x² – x – 3 ≥ 0 :

On cherche où l’expression est positive ou nulle (+ ou 0)

D’après le tableau : avant -1 et après 3/2 (valeurs incluses)

Réponse :
* 2x² – x – 3 < 0 : S₁ = ]-1 ; 3/2[
* 2x² – x – 3 ≥ 0 : S₂ = ]-∞ ; -1] ∪ [3/2 ; +∞[

💡 Point méthodologique : Le tableau de signes est la méthode recommandée par les orientations pédagogiques marocaines. Il permet de visualiser clairement les intervalles solution et évite les erreurs.

Question 4 : Système d’équations (2 points)

Système :

{ 3x + 2y = 9
{ 4x – y = 1

📌 Résolution par substitution

Étape 1 : Isoler y dans la deuxième équation

4x – y = 1
-y = 1 – 4x
y = 4x – 1 … (★)

Étape 2 : Substituer dans la première équation

3x + 2y = 9
3x + 2(4x – 1) = 9
3x + 8x – 2 = 9
11x = 9 + 2
11x = 11
x = 1

Étape 3 : Calculer y en substituant x = 1 dans (★)

y = 4(1) – 1
y = 4 – 1
y = 3

Étape 4 : Vérification

Équation 1 : 3(1) + 2(3) = 3 + 6 = 9 ✅

Équation 2 : 4(1) – 3 = 4 – 3 = 1 ✅

Réponse : S = {(1 ; 3)}
ou : x = 1 et y = 3

💡 Méthodes alternatives : On peut aussi résoudre par la méthode de combinaison linéaire (élimination) qui est tout aussi valable. Le choix de la méthode dépend du système proposé.

Exercice 3 : Applications Pratiques (5 points)

Question 1 : Pourcentages (2 points)

Énoncé : Le nombre d’élèves de première année du baccalauréat est 54. Le pourcentage d’élèves ayant obtenu une moyenne supérieure à 10 est de 30%. Déterminer ce nombre.

📌 Résolution

Données :

• Nombre total d’élèves : 54
• Pourcentage cherché : 30%

Méthode 1 : Formule du pourcentage

Nombre d’élèves = (Pourcentage/100) × Total
= (30/100) × 54
= 0,30 × 54
= 16,2

Interprétation :

Comme on ne peut pas avoir 0,2 élève, on arrondit :

• Mathématiquement : 16,2 ≈ 16 élèves

Méthode 2 : Produit en croix

Pourcentage	Nombre d’élèves
100%	54
30%	?

? = (30 × 54)/100 = 1620/100 = 16,2

Réponse : 16 élèves (ou 16,2 si on accepte les décimales)

💡 Note : Dans un contexte réel, on arrondit à 16 élèves. Cependant, le résultat exact 16,2 montre que 30% n’est qu’une approximation du pourcentage réel.

Question 2 : Augmentation de prix (1.5 points)

Énoncé : Le prix d’un manteau en été est de 200 Dh. En hiver, son prix a augmenté de 20%. Déterminer le nouveau prix.

📌 Résolution

Données :

• Prix initial (été) : 200 Dh
• Pourcentage d’augmentation : 20%

Méthode 1 : Calcul de l’augmentation puis ajout

Augmentation = (20/100) × 200
= 0,20 × 200
= 40 Dh

Prix en hiver = Prix été + Augmentation
= 200 + 40
= 240 Dh

Méthode 2 : Coefficient multiplicateur

Une augmentation de 20% correspond au coefficient 1,20

Prix en hiver = 200 × 1,20
= 240 Dh

Réponse : 240 Dh

💡 Rappel : Pour une augmentation de p%, on multiplie par (1 + p/100). Pour une diminution de p%, on multiplie par (1 – p/100).

Question 3 : Échelle géographique (1.5 points)

Énoncé : Calculer la distance réelle que représente un segment de 3 cm sur une carte à l’échelle 1/10000.

📌 Résolution

Rappel : Définition de l’échelle

Une échelle 1/10000 signifie que :

1 cm sur la carte = 10000 cm dans la réalité

Calcul :

Si 1 cm → 10000 cm

Alors 3 cm → ?

Distance réelle = 3 × 10000
= 30000 cm

Conversion en mètres :

30000 cm = 30000/100 m
= 300 m

Conversion en kilomètres (facultatif) :

300 m = 300/1000 km
= 0,3 km

Réponse : 300 m (ou 30000 cm ou 0,3 km)

💡 Tableau de conversion :

Unité	Équivalence
1 km	1000 m
1 m	100 cm
1 cm	10 mm

📝 Conseils Méthodologiques Généraux

1. Logique (Exercice 1) :

• Toujours décomposer les propositions composées
• Utiliser les tables de vérité pour les connecteurs logiques
• Bien distinguer ∀ (pour tout) et ∃ (il existe)
• Appliquer rigoureusement les règles de négation

2. Équations du second degré (Exercice 2) :

• Toujours mettre l’équation sous forme ax² + bx + c = 0
• Calculer Δ avant de chercher les solutions
• Interpréter le signe de Δ (nombre de solutions)
• Vérifier les solutions par substitution
• Utiliser le tableau de signes pour les inéquations

3. Applications pratiques (Exercice 3) :

• Identifier clairement les données et l’inconnue
• Utiliser les unités appropriées
• Vérifier la cohérence du résultat
• Penser aux conversions d’unités

4. Présentation générale :

• Écrire lisiblement et aérer la copie
• Encadrer ou souligner les réponses finales
• Justifier chaque étape de raisonnement
• Garder du temps pour relire et vérifier

📊 Barème Détaillé

Exercice	Question	Points	Total
Exercice 1	Question 1 (P₁ et P₂)	2	4
	Question 2 (¬A₁ et ¬A₂)	2
Exercice 2	Question 1 (équation)	2	11
	Question 2 (inéquation)	2
	Question 3 (a, b, c)	4,5
	Question 3 (d)	2,5
Exercice 3	Question 1 (pourcentage)	2	5
	Question 2 (augmentation)	1,5
	Question 3 (échelle)	1,5
TOTAL			20

✅ Conclusion

Cette correction complète couvre tous les aspects du programme de mathématiques de 1ère année Baccalauréat filière Lettres et Sciences Humaines conformément aux orientations pédagogiques marocaines.

Les compétences évaluées sont :

• ✅ Maîtrise de la logique mathématique
• ✅ Résolution d’équations et d’inéquations
• ✅ Utilisation du discriminant
• ✅ Factorisation et tableaux de signes
• ✅ Application des mathématiques dans des situations concrètes

🌟 Bon courage pour vos révisions ! 🌟