Bienvenue sur cet article dédié au Devoir à la Maison N°02 de mathématiques, destiné aux élèves de la classe 3APIC. Ce devoir, élaboré par le Professeur H. Ait Issoumour, constitue une évaluation importante des compétences mathématiques acquises.

Ce travail porte sur trois exercices fondamentaux qui couvrent des domaines essentiels des mathématiques au niveau lycée. Vous y trouverez des problèmes de géométrie utilisant le théorème de Thalès, des exercices de comparaison de nombres irrationnels et d’inégalités algébriques, ainsi que des techniques d’encadrement de nombres réels.

L’objectif principal est de développer votre raisonnement mathématique, votre capacité à justifier vos réponses et à présenter des solutions rigoureuses. N’oubliez pas que la qualité de la rédaction sera prise en compte dans l’évaluation. Prenez le temps de bien structurer vos réponses et de détailler chaque étape de votre démarche.

⏰ Temps de travail conseillé : 2 à 3 heures | 📝 Travail individuel obligatoire

Devoir à la Maison N°02

Mathématiques

PROFESSEUR H. Ait Issoumour

CLASSE 3APIC

⚠️ NB : Il sera tenu compte de la rédaction des réponses.

EXERCICE 1 : Géométrie et Théorème de Thalès

Soit \(ABC\) un triangle. \(E\) et \(F\) deux points tels que \(E \in [AB]\) et \(F \in [AC]\), et \((EF) \parallel (BC)\).

📐 Données :

\(AB = 8\) cm ; \(AE = 2\) cm ; \(BC = 6\) cm ; \(AC = 18\) cm

Soit \(G\) un point du segment \([BC]\) tel que \(BG = 4,5\) cm.

1. Construire la figure.

2. Calculer les distances \(EF\) et \(AF\).

3.

a) Comparer les rapports \(\displaystyle\frac{BE}{BA}\) et \(\displaystyle\frac{BG}{BC}\).

b) En déduire que \((EG) \parallel (AC)\).

4. Calculer \(EG\).

EXERCICE 2 : Comparaison de Nombres et Inégalités

1. Comparez les nombres dans les cas suivants :

\[\frac{7}{8} \text{ et } \frac{3}{4} \quad ; \quad 2\sqrt{11} \text{ et } 3\sqrt{6} \quad ; \quad -\sqrt{57} \text{ et } \left(-3\sqrt{7}\right)\]

2. Déduire la comparaison de :

\[\frac{-7\sqrt{3}}{8} \text{ et } \frac{-3\sqrt{3}}{4}\]

\[\frac{1}{-2\sqrt{11}+2} \text{ et } \frac{1}{-3\sqrt{6}+2}\]

\[\frac{\sqrt{57}}{3}-1 \text{ et } \left(\sqrt{7}-1\right)\]

3. Soient \(a\), \(b\) et \(c\) des nombres réels non nuls :

a) Montrer que : \[\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2\]

b) En déduire que : \[\frac{a+b}{c} + \frac{b+c}{a} + \frac{c+a}{b} \geq 6\]

EXERCICE 3 : Encadrements et Intervalles

Soient \(x\), \(y\) et \(z\) des nombres réels tels que :

📊 Conditions :

\[2 \leq x \leq 5 \quad ; \quad -3 \leq y \leq -1 \quad ; \quad 1 \leq \sqrt{2z-1} \leq 3\]

1) Montrer que \(1 \leq z \leq 5\).

2) Encadrer les expressions suivantes :

• \(x + y\)
• \(3x – 2z\)
• \(2y – x\)
• \(x + y + z – 2\)

3) Encadrer les expressions suivantes :

• \(xy\)
• \(xz\)
• \(\displaystyle\frac{x}{z}\)
• \(x^2 + y^2\)
• \(x(y + z)\)

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📚 Ce devoir à la maison couvre des notions essentielles du programme de mathématiques :

• Géométrie plane et théorème de Thalès

• Comparaison de nombres irrationnels

• Inégalités algébriques

• Techniques d’encadrement

Une attention particulière doit être portée à la rigueur de la rédaction
et à la justification de chaque étape du raisonnement.

✨ Bonne chance ! ✨

🎓 Conseils pour Réussir ce Devoir

✍️ Méthodologie de Travail

• Lisez attentivement chaque énoncé avant de commencer
• Rédigez proprement vos solutions en détaillant chaque étape
• Justifiez tous vos calculs et raisonnements
• Vérifiez vos résultats et la cohérence de vos réponses
• Soignez la présentation : figures précises, écritures mathématiques claires

💡 Points Clés à Retenir

• Pour l’Exercice 1 : Maîtrisez le théorème de Thalès et sa réciproque
• Pour l’Exercice 2 : Utilisez les propriétés des nombres et des opérations
• Pour l’Exercice 3 : Attention aux signes lors des encadrements

📝 Critères d’Évaluation

Votre copie sera évaluée sur la justesse des résultats, la clarté de la rédaction, la rigueur mathématique et la qualité de la présentation. N’oubliez pas que chaque étape de votre raisonnement doit être expliquée !

📧 Pour toute question, n’hésitez pas à contacter votre professeur

🌟 Bon Courage et Bonne Réussite ! 🌟

Professeur H. Ait Issoumour | Classe 3APIC