Devoir à Domicile 03

Devoir à Domicile 03

Introduction(Devoir à Domicile 03)

Ce devoir à domicile porte sur les notions fondamentales de trigonométrie étudiées au cours de ce semestre. Vous y trouverez des exercices variés portant sur :

• Le théorème de Pythagore et les triangles rectangles
• Les rapports trigonométriques (sinus, cosinus, tangente)
• Les identités trigonométriques remarquables
• La simplification d’expressions trigonométriques
• Les calculs dans les triangles rectangles

Informations importantes :

Niveau : 3APIC
Lycée : SIDI AMR OUHALLI
Professeur : H. Ait Issoumour
Date de remise : 02/01/2025

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Exercice 1 : Triangle rectangle et rapports trigonométriques(Devoir à Domicile 03)

Soit \( ABC \) un triangle et \( H \) le projeté orthogonal de \( A \) sur \( (BC) \) tels que :

\[ AH = 2 \quad ; \quad AC = 4 \quad \text{et} \quad HB = 2\sqrt{2} \]

(Voir la figure ci-contre)

1) Calculer \( AB \)

2) Calculer \( CH \)

3) Le triangle \( ABC \) est-il rectangle ? Justifier votre réponse.

4) Calculer les rapports trigonométriques de l’angle \( \widehat{ACB} \).

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Exercice 2 : Simplification et identités trigonométriques(Devoir à Domicile 03)

1) Simplifier les expressions suivantes :

\[ E = \cos^2(63°) + \sqrt{2}\sin^2(48°) – \sin(27°) + \sqrt{2}\sin^2(42°) \]

\[ F = \frac{\cos^2(50°)}{\tan(20°) \times \tan(70°)} + \cos^2(40°) \]

\[ G = \cos^3(x) + \cos(x) \times \sin^2(x) – 2\cos(x) \]

2) Soit \( y \) la mesure d’un angle aigu.

a. Montrer que :

\[ 1 + \tan^2(y) = \frac{1}{\cos^2(y)} \]

b. Montrer que :

\[ \frac{\tan^2(y)}{1 + \tan^2(y)} = \sin^2(y) \]

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Exercice 3 : Applications de la trigonométrie (Devoir à Domicile 03)

Partie A : Calculs dans un triangle rectangle

Soit \( EFG \) un triangle rectangle en \( E \) tels que :

\[ GF = 2\sqrt{3} \quad \text{et} \quad \cos(\widehat{EGF}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \]

1) Calculer \( EG \)

2) En déduire la valeur de \( EF \)

Partie B : Calcul de rapports trigonométriques

Soit \( x \) la mesure d’un angle aigu tel que :

\[ \cos(x) = \frac{1}{2} \]

1) Calculer \( \sin(x) \)

2) Calculer \( \tan(x) \)

Partie C : Utilisation des identités trigonométriques

Soit \( y \) la mesure d’un angle aigu tel que :

\[ \tan(y) = \sqrt{5} \]

1) En utilisant la question 2) b) de l’exercice 2, calculer \( \sin(y) \)

2) En déduire la valeur de \( \cos(y) \)

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Conseils pour réussir ce devoir

• Révisez bien les formules trigonométriques fondamentales avant de commencer
• Faites des schémas clairs pour l’exercice 1
• N’oubliez pas l’identité remarquable : \( \cos^2(x) + \sin^2(x) = 1 \)
• Pensez aux angles complémentaires pour simplifier certaines expressions
• Justifiez toutes vos réponses avec des calculs détaillés

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Bon courage dans votre travail !