Devoir Surveillé N°3

Devoir Surveillé N°3 – 1BAC Sciences

Introduction (Devoir Surveillé N°3)

Ce devoir surveillé évalue vos compétences sur les chapitres étudiés ce semestre. Il comporte trois exercices portant sur :

• Les suites numériques (suites géométriques et arithmétiques)
• L’étude de la monotonie et des limites
• Le raisonnement par récurrence
• Le barycentre de points pondérés
• Les ensembles de points dans le plan

Durée : 2 heures
Niveau : 1BAC Sciences
Lycée : SIDI AMER OUHALLI – AGHBALA
Professeur : H. Ait Issoumour

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Exercice 1 : (7 points)(Devoir Surveillé N°3)

Soit \( (u_n) \) une suite numérique définie par :

\[ \begin{cases} u_0 = 2 \\ (\forall n \in \mathbb{N}) : u_{n+1} = \frac{1}{3}u_n + \frac{4}{3} \end{cases} \]

1) Calculer \( u_1 \) et \( u_2 \). (0,75 pt)

2) Montrer que \( \forall n \in \mathbb{N} : u_n \geq 2 \). (1,5 pt)

3) Étudier la monotonie de la suite \( (u_n) \). (1,25 pt)

4) Pour tout \( n \in \mathbb{N} \), on pose : \( v_n = u_n – 2 \).

a) Montrer que \( (v_n) \) est une suite géométrique. Déterminer sa raison \( q \) et son premier terme \( v_0 \). (1,75 pt)

b) Exprimer \( v_n \) en fonction de \( n \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \). (0,5 pt)

c) En déduire \( u_n \) en fonction de \( n \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \). (0,5 pt)

5) Calculer la somme \( S_n = v_0 + v_1 + v_2 + \cdots + v_n \) en fonction de \( n \). (0,75 pt)

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Exercice 2 : (6,5 points)(Devoir Surveillé N°3)

Soit \( (u_n) \) la suite numérique définie par :

\[ \begin{cases} u_0 = 3 \\ u_{n+1} = \frac{4u_n – 2}{2 + u_n} \quad ; \quad (\forall n \in \mathbb{N}) \end{cases} \]

1) Calculer \( u_1 \). (0,5 pt)

2) Montrer par récurrence que \( \forall n \in \mathbb{N} : u_n > 2 \). (1,75 pt)

3) Montrer que \( u_{n+1} – u_n = \frac{-(u_n – 2)^2}{2 + u_n} \). (1 pt)

4) En déduire que la suite \( (u_n) \) est décroissante. (0,75 pt)

5) On considère la suite \( (v_n) \) définie par : \( v_n = \frac{1}{u_n – 2} \) pour tout \( n \in \mathbb{N} \).

a) Montrer que \( (v_n) \) est une suite arithmétique. Déterminer sa raison \( r \) et son premier terme \( v_0 \). (1,75 pt)

b) Écrire \( v_n \) puis \( u_n \) en fonction de \( n \). (0,75 pt)

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Exercice 3 : (6,5 points)(Devoir Surveillé N°3)

Partie A : Barycentre

Soit \( G = \text{Bary}\{(A; 3), (B; -1), (C; 2), (D; -2)\} \)

Soient \( I \) le milieu du segment \( [BD] \) et \( J \) le milieu du segment \( [AC] \).

Soit \( K = \text{Bary}\{(A; 3), (B; -1), (C; 2)\} \).

1) Montrer que \( G \) est le barycentre des points pondérés \( (K, 4) \) et \( (D, -2) \). (1 pt)

2) Montrer que \( G \) est le barycentre des points pondérés \( (I, -3) \), \( (A, 3) \) et \( (C, 2) \). (1,25 pt)

3) Montrer que les points \( I \), \( G \) et \( J \) sont alignés. (1,75 pt)

Partie B : Ensemble de points

Soit \( ABC \) un triangle. On considère les points \( M \), \( N \) et \( P \) définis par :

\[ \overrightarrow{PA} = 3\overrightarrow{PB} \quad ; \quad \overrightarrow{MB} = 3\overrightarrow{MC} \quad ; \quad \overrightarrow{NC} = \frac{1}{3}\overrightarrow{NA} \]

4) Déterminer l’ensemble des points \( M \) du plan qui vérifient : (2,5 pts)

\[ \|3\overrightarrow{MA} – \overrightarrow{MB} + 2\overrightarrow{MC}\| = AB \]

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Conseils pour réussir

• Lisez attentivement chaque énoncé avant de commencer
• Rédigez vos réponses de manière claire et organisée
• Justifiez toutes vos affirmations avec des calculs ou des raisonnements
• Pour les récurrences, n’oubliez pas les trois étapes : initialisation, hérédité, conclusion
• Vérifiez vos résultats numériques en remplaçant dans les formules
• Gérez bien votre temps : 40 minutes par exercice environ

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Bon courage et bonne réussite !