Devoir surveillé N3 semestre 1

Devoir surveillé N3 semestre 1

Lycée SIDI AMER OUHALLI – AGHBALA
Classe : 1BACSF
Professeur : H. Aït Issoumour

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Exercice 1 : (4 pts)(Devoir surveillé N3 semestre 1)

On considère la suite numérique \((U_n)\) définie par :

$$U_0 = \frac{3}{2} \quad \text{et} \quad (\forall n \in \mathbb{N}) : \quad U_{n+1} = \frac{U_n^2 + U_n}{U_n^2 + 1}$$

1. Montrer que \((\forall n \in \mathbb{N}) : U_n > 1\). (1 pts)
2. Étudier la monotonie de la suite \((U_n)\). (1,5 pt)
3. Montrer que \((\forall n \in \mathbb{N}) : U_{n+1} – 1 \leq \frac{1}{2}(U_n – 1)\). (1,5 pt)

Exercice 2 : (13 pts)(Devoir surveillé N3 semestre 1)

I)

Dans un repère orthonormé \((O,\vec{i},\vec{j})\), on considère les points \(A(-2, 1)\), \(B(0, -2)\) et \(C(1, 3)\).

1. Calculer \(AB\), \(AC\), \(BC\) et \(\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC}\). (1,5 pts)
2. Déduire la nature du triangle \(ABC\). (0,5 pt)
3. Calculer la surface du triangle \(ABC\). (0,5 pt)
4. Calculer \(\overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{BA}\) ; \(\cos(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BA})\) ; \(\sin(\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BA})\) et déduire la mesure principale de l’angle \((\overrightarrow{BC};\overrightarrow{BA})\). (2 pts)
5. Donner une équation cartésienne de la droite \((D)\), hauteur du triangle \(ABC\) passant par \(A\). (1,5 pt)
6. Calculer la distance \(d(B,(D))\). (0,5 pts)

II)

On considère le cercle \((\mathcal{C})\) d’équation :

$$x^2 + y^2 – 2x – 4y – 3 = 0$$

1. 
   
   1. Montrer que \(\Omega(1, 2)\) est le centre du cercle \((\mathcal{C})\) et que son rayon est \(R = 2\sqrt{2}\). (1 pt)
   
   
   2. Donner une représentation paramétrique du cercle \((\mathcal{C})\). (0,5 pt)
   
   
   1. Vérifier que le point \(A(-1, 0)\) appartient au cercle \((\mathcal{C})\). (0,5 pt)
   2. Donner l’équation de la tangente au cercle \((\mathcal{C})\) au point \(A\). (1 pt)
2. On considère la droite \((D)\) d’équation \(x + y – 3 = 0\)
   1. Montrer que la droite \((D)\) coupe le cercle \((\mathcal{C})\) en deux points \(E\) et \(F\). (0,75 pt)
   2. Déterminer les coordonnées de \(E\) et \(F\). (1,25 pts)
   3. Déterminer les équations des tangentes \((D_1)\) et \((D_2)\) au cercle \((\mathcal{C})\) en \(E\) et \(F\). (1,5 pt)

Exercice 3 : (3 pts)(Devoir surveillé N3 semestre 1)

Soit le cercle \((\mathcal{C})\) de centre \(O(0, 0)\) et de rayon \(R\). On considère un point fixe \(A(a, 0)\).

1. Exprimer \(\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{OM}\) pour un point quelconque \(M \in (\mathcal{C})\). (1,5 pts)
2. Déterminer les coordonnées du point \(M\) pour lesquelles l’expression \(\overrightarrow{AM} \cdot \overrightarrow{OM}\) est minimale. (1,5 pts)

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