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Table of Contents
I. Rappel
🎯 Activité
- Définir un cercle trigonométrique.
- Soit \((C)\) un cercle trigonométrique et \((O, \vec{OI}, \vec{OJ})\) un repère orthonormé direct lié au \((C)\). Soit \(M\) un point de \((C)\) d’abscisse curviligne \(\dfrac{17\pi}{3}\)
- Déterminer la valeur de \(\alpha\) et \(k\) sachant que \(-\pi < \alpha \leq \pi\) et \(k \in \mathbb{Z}\) pour que \(\dfrac{17\pi}{3} = \alpha + 2k\pi\)
- Déduire l’abscisse curviligne principale du point \(M\).
- Déterminer les abscisses curvilignes principales puis les placer sur \((C)\) : \(A\left(\dfrac{7\pi}{2}\right)\) ; \(B\left(\dfrac{67\pi}{4}\right)\) ; \(C\left(\dfrac{267\pi}{6}\right)\) ; \(D\left(-\dfrac{11\pi}{3}\right)\)
- Simplifier l’expression suivante : \[A(x) = \left[\cos(x) – \sin\left(\dfrac{\pi}{2} + x\right)\right] + \left[2\sin(\pi – x) + 3\cos(\pi + x)\right]\]
II. Formules de transformation
🎯 Activité
Soit \((C)\) un cercle trigonométrique de centre \(O\) et \((O, \vec{i}, \vec{j})\) un repère orthonormé direct lié au \((C)\)
- Les assertions suivantes sont-elles vraies ? En justifiant la réponse
- \(\forall (x, y) \in \mathbb{R}^2 ; \cos(x + y) = \cos(x) + \cos(y)\)
- \(\forall (x, y) \in \mathbb{R}^2 ; \sin(x + y) = \sin(x) + \sin(y)\)
- Soient \(A\) et \(B\) deux points de \((C)\) d’abscisses curvilignes \(a\) et \(b\) respectivement
- Remarquons que \((\vec{OA}, \vec{OB}) = b – a [2\pi]\). Montrer que \(\vec{OA} \cdot \vec{OB} = \cos(a – b)\)
- Écrire \(\vec{OA}\) et \(\vec{OB}\) dans la base \((\vec{i}, \vec{j})\)
- En utilisant l’expression analytique du produit scalaire, calculer \(\vec{OA} \cdot \vec{OB}\).
- Déduire que \(\cos(a – b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)\).
- Remarquons que \(a + b = a – (-b)\). Déduire que \(\cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) – \sin(a)\sin(b)\)
- Remarquons que \(\cos(x) = \sin\left(\dfrac{\pi}{2} – x\right)\). Déduire que :
- \(\sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)\)
- \(\sin(a – b) = \sin(a)\cos(b) – \cos(a)\sin(b)\)
⚡ Propriété
Soient \(a\) et \(b\) des nombres réels, on a :
\(\cos(a – b) = \cos(a)\cos(b) + \sin(a)\sin(b)\)
\(\sin(a + b) = \sin(a)\cos(b) + \cos(a)\sin(b)\)
\(\cos(a + b) = \cos(a)\cos(b) – \sin(a)\sin(b)\)
\(\sin(a – b) = \sin(a)\cos(b) – \cos(a)\sin(b)\)
✏️ Application
- Calculer \(\cos\left(\dfrac{7\pi}{12}\right)\) et \(\sin\left(\dfrac{7\pi}{12}\right)\) sachant que \(\dfrac{7\pi}{12} = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{3}\).
- Calculer \(\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)\) et \(\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)\) sachant que \(\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\pi}{3} – \dfrac{\pi}{4}\).
- Soit \(x \in \mathbb{R}\) ; simplifier les expressions suivantes :
- \(A(x) = \cos\left(x + \dfrac{\pi}{3}\right) + \cos\left(x – \dfrac{\pi}{3}\right)\)
- \(B(x) = \sin\left(x + \dfrac{\pi}{3}\right) – \sin\left(x – \dfrac{\pi}{3}\right)\)
🎯 Activité
Soient \(a\) et \(b\) des nombres réels tels que \(a \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\), \(b \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\), \(a + b \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\) et \(a – b \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\)
Montrer que :
- \(\tan(a – b) = \dfrac{\tan(a) – \tan(b)}{1 + \tan(a)\tan(b)}\)
- \(\tan(a + b) = \dfrac{\tan(a) + \tan(b)}{1 – \tan(a)\tan(b)}\)
⚡ Propriété
Soient \(a\) et \(b\) des nombres réels tels que \(a \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\) et \(b \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\), et
• Si \(a – b \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\), on a :
\(\tan(a – b) = \dfrac{\tan(a) – \tan(b)}{1 + \tan(a)\tan(b)}\)
• Si \(a + b \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\), on a :
\(\tan(a + b) = \dfrac{\tan(a) + \tan(b)}{1 – \tan(a)\tan(b)}\)
✏️ Application
- Soit \(x\) un nombre réel tel que \(x \neq \dfrac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\) et \(x \neq -\dfrac{\pi}{4} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\). Simplifier l’expression suivante : \[A = \tan\left(x – \dfrac{\pi}{4}\right) – \tan\left(x + \dfrac{\pi}{4}\right)\]
- Calculer \(\tan\left(\dfrac{\pi}{12}\right)\) et \(\tan\left(\dfrac{7\pi}{12}\right)\) sachant que \(\dfrac{\pi}{12} = \dfrac{\pi}{3} – \dfrac{\pi}{4}\) et \(\dfrac{7\pi}{12} = \dfrac{\pi}{4} + \dfrac{\pi}{3}\).
⚡ Propriété (Formules de duplication)
Soit \(a \in \mathbb{R}\), on a :
• \(\cos(2a) = \cos^2(a) – \sin^2(a)\)
• \(\cos(2a) = 2\cos^2(a) – 1\)
• \(\cos(2a) = 1 – 2\sin^2(a)\)
• \(\sin(2a) = 2\cos(a)\sin(a)\)
• \(\cos^2(a) = \dfrac{1 + \cos(2a)}{2}\)
• \(\sin^2(a) = \dfrac{1 – \cos(2a)}{2}\)
• Si \(a \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\) et \(2a \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi, k \in \mathbb{Z}\), alors :
\(\tan(2a) = \dfrac{2\tan(a)}{1 – \tan^2(a)}\)
✏️ Application
- On remarque que \(\dfrac{\pi}{4} = 2 \times \dfrac{\pi}{8}\). Calculer \(\cos\left(\dfrac{\pi}{8}\right)\) et \(\sin\left(\dfrac{\pi}{8}\right)\)
- Soit \(x \in \mathbb{R}\). Montrer que : \[1 + \cos(x) + 2\sin^2\left(\dfrac{x}{2}\right) = 2\]
- Soit \(x \neq k\pi, k \in \mathbb{Z}\). Montrer que : \[\dfrac{1 – \cos(x)}{\sin(x)} = \tan\left(\dfrac{x}{2}\right)\]
III. Transformation d’un produit en une somme – Transformation d’une somme en un produit
1. Transformation d’un produit en une somme
🎯 Activité
Simplifier les expressions suivantes :
- \(\cos(a + b) + \cos(a – b)\)
- \(\cos(a + b) – \cos(a – b)\)
- \(\sin(a + b) + \sin(a – b)\)
- \(\sin(a + b) – \sin(a – b)\)
⚡ Propriété
Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels, on a :
– \(\cos(a)\cos(b) = \dfrac{1}{2}[\cos(a + b) + \cos(a – b)]\)
– \(\sin(a)\sin(b) = -\dfrac{1}{2}[\cos(a + b) – \cos(a – b)]\)
– \(\sin(a)\cos(b) = \dfrac{1}{2}[\sin(a + b) + \sin(a – b)]\)
– \(\cos(a)\sin(b) = \dfrac{1}{2}[\sin(a + b) – \sin(a – b)]\)
✏️ Application
- Calculer \(\cos\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)\cos\left(\dfrac{\pi}{12}\right)\) et \(\cos\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right)\)
- Montrer que : \[\cos\left(x + \dfrac{\pi}{3}\right)\cos\left(x – \dfrac{\pi}{3}\right) = \cos^2(x) – \dfrac{3}{4}\]
- Écrire sous forme d’une somme les expressions suivantes :
- \(A(x) = \sin(x)\sin(3x)\sin(5x)\)
- \(B(x) = \cos(x)\cos(3x)\cos(5x)\)
2. Transformation d’une somme en un produit
Changement de variable :
On pose \(p = a + b\) et \(q = a – b\), alors \(a = \dfrac{p + q}{2}\) et \(b = \dfrac{p – q}{2}\)
⚡ Propriété
Soient \(p\) et \(q\) deux nombres réels, on a :
– \(\sin(p) + \sin(q) = 2\sin\left(\dfrac{p + q}{2}\right)\cos\left(\dfrac{p – q}{2}\right)\)
– \(\sin(p) – \sin(q) = 2\cos\left(\dfrac{p + q}{2}\right)\sin\left(\dfrac{p – q}{2}\right)\)
– \(\cos(p) + \cos(q) = 2\cos\left(\dfrac{p + q}{2}\right)\cos\left(\dfrac{p – q}{2}\right)\)
– \(\cos(p) – \cos(q) = -2\sin\left(\dfrac{p + q}{2}\right)\sin\left(\dfrac{p – q}{2}\right)\)
✏️ Application
1) a. Transformer en produit les expressions suivantes :
- \(A(x) = \sin(x) + \sin(7x)\)
- \(B(x) = \sin(3x) + \sin(5x)\)
b. Déduire que \(A(x) + B(x) = 4\cos(x)\cos(2x)\sin(4x)\)
2) Montrer que \(\sin\left(\dfrac{\pi}{12}\right) + \sin\left(\dfrac{5\pi}{12}\right) = \dfrac{\sqrt{6}}{2}\)
IV. Transformation de l’expression \(a\cos(x) + b\sin(x)\)
Introduction
Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels tels que \((a, b) \neq (0, 0)\)
On considère l’expression suivante : \(a\cos(x) + b\sin(x)\)
Démonstration :
On a : \[a\cos(x) + b\sin(x) = \sqrt{a^2 + b^2}\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}\cos(x) + \dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}\sin(x)\right)\]
Or on a : \[\left(\dfrac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}\right)^2 + \left(\dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}\right)^2 = 1\]
Donc il existe \(\alpha \in \mathbb{R}\) tel que : \[\begin{cases} \cos(\alpha) = \dfrac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}} \\[10pt] \sin(\alpha) = \dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}} \end{cases}\]
D’où : \[a\cos(x) + b\sin(x) = \sqrt{a^2 + b^2}(\cos(\alpha)\cos(x) + \sin(\alpha)\sin(x))\]
Par conséquent : \[a\cos(x) + b\sin(x) = \sqrt{a^2 + b^2}\cos(x – \alpha)\]
⚡ Propriété ©
Soient \(a\) et \(b\) deux nombres réels tels que \((a, b) \neq (0, 0)\)
Il existe un nombre réel \(\alpha\) tel que :
\(a\cos(x) + b\sin(x) = r\cos(x – \alpha)\)
Avec :
- \(r = \sqrt{a^2 + b^2}\)
- \(\cos(\alpha) = \dfrac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)
- \(\sin(\alpha) = \dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)
💡 Remarque
On peut écrire l’expression \(a\cos(x) + b\sin(x)\) sous forme :
\(a\cos(x) + b\sin(x) = r\sin(x + \beta)\)
Avec :
- \(\sin(\beta) = \dfrac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)
- \(\cos(\beta) = \dfrac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}\)
📌 Exemple
Transformer l’expression suivante : \(\sqrt{3}\cos(x) + \sin(x)\)
On a \(a = \sqrt{3}\) et \(b = 1\), donc \(r = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{3 + 1} = 2\)
Donc : \[\sqrt{3}\cos(x) + \sin(x) = 2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos(x) + \dfrac{1}{2}\sin(x)\right) = 2\cos\left(x – \dfrac{\pi}{6}\right)\]
Et aussi : \[\sqrt{3}\cos(x) + \sin(x) = 2\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\cos(x) + \dfrac{1}{2}\sin(x)\right) = 2\sin\left(x + \dfrac{\pi}{3}\right)\]
✏️ Application ©
Écrire sous forme de \(r\cos(x – \alpha)\) les expressions suivantes :
\(A(x) = \cos(x) + \sin(x)\)
\(B(x) = \cos(x) – \sqrt{3}\sin(x)\)
\(C(x) = \sqrt{2}\cos(x) + \sqrt{2}\sin(x)\)
\(D(x) = \sqrt{3}\cos\left(2x – \dfrac{\pi}{3}\right) – \sin\left(2x – \dfrac{\pi}{3}\right)\)
V. Équations et inéquations trigonométriques
Rappel
⊗ \(\cos(x) = \cos(\alpha) \Leftrightarrow \begin{cases} x = \alpha + 2k\pi \\ x = -\alpha + 2k\pi \end{cases}\) où \(k \in \mathbb{Z}\)
⊗ \(\sin(x) = \sin(\alpha) \Leftrightarrow \begin{cases} x = \alpha + 2k\pi \\ x = \pi – \alpha + 2k\pi \end{cases}\) où \(k \in \mathbb{Z}\)
⊗ \(\tan(x) = \tan(\alpha) \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi\) où \(k \in \mathbb{Z}\)
Remarque
Les inéquations trigonométriques se résolvent à l’aide du cercle trigonométrique
✏️ Application ©
1) Résoudre les équations suivantes dans l’intervalle \(I\) :
| \(2\cos(x) – \sqrt{3} = 0\) | \(I = ]-\pi, \pi]\) |
| \(\sqrt{2}\sin(x) + 1 = 0\) | \(I = ]-\pi, \pi]\) |
| \(\tan(x) = \sqrt{3}\) | \(I = [0, 2\pi]\) |
| \(\sqrt{3}\cos(x) – \sin(x) = \sqrt{2}\) | \(I = [-\pi, \pi]\) |
2) Résoudre dans \(I\) les inéquations suivantes :
- ✱ \(2\cos(x) – \sqrt{3} \geq 0\) ; \(I = ]-\pi, \pi]\)
- ✱ \(\sqrt{2}\sin(x) + 1 \leq 0\) ; \(I = ]-\pi, \pi]\)
- ✱ \(\cos(x) > \dfrac{-\sqrt{2}}{2}\) ; \(I = [0, 2\pi]\)
- ✱ \((\sqrt{2}\sin(x) + 1)(2\cos(x) – \sqrt{3}) \geq 0\) ; \(I = ]-\pi, \pi]\)
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