Devoir Surveillé N° 3 – Semestre 1

Devoir Surveillé N° 3 – Semestre 1

Établissement : LYCÉE QUALIFIANT AGHBALA
Professeur : Hssain Ait Issoumour
Matière : MATHÉMATIQUES
Niveau/Classe : TCSF
Année scolaire : 2025/2026
Durée : 2 Heures

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Exercice 1 : (12 pts)(Devoir Surveillé N° 3 – Semestre 1)

Soit \((O; \vec{i}; \vec{j})\) un repère orthonormé tel que \(\|\vec{i}\| = \|\vec{j}\| = 3\) cm.

On considère les points suivants : \(M(2;2)\), \(N(5;2)\) et \(P(2;5)\).

1.

• a) Déterminer les coordonnées des vecteurs : \(\overrightarrow{MN}\), \(\overrightarrow{MP}\) et \(\overrightarrow{NP}\). (0,75 pt)
• b) Calculer \(\det(\overrightarrow{MN}, \overrightarrow{MP})\) puis déduire que les points \(M\), \(N\) et \(P\) forment un triangle. (1,25 pts)
• c) Montrer que le triangle \(MNP\) est isocèle et rectangle en \(M\). (2 pts)
• d) Soit \(Q(c; d)\) un point du plan. Déterminer les nombres \(c\) et \(d\) pour que le point \(M\) soit le milieu du segment \([QN]\). (1 pt)

2.

• a) Déterminer une équation cartésienne de la droite \((NP)\). (0,75 pt)
• b) Déterminer une représentation paramétrique de la droite \((\Delta)\) passant par le point \(P\) et dirigée par le vecteur \(\vec{u}(-4;4)\). (0,75 pt)
• c) Étudier la position relative des droites \((NP)\) et \((\Delta)\). (1 pt)

3. Soient \((D_1)\) et \((D_2)\) deux droites définies par :

$$(D_1) : \begin{cases} x = 3 + t \\ y = 3 – 2t \end{cases}, \quad t \in \mathbb{R}$$

et \((D_2) : 3x – y + 4 = 0\).

• a) Montrer que \(P \in (D_1)\) et \(P \in (D_2)\). (1 pt)
• b) Déterminer une équation cartésienne de la droite \((D_1)\). (1,5 pts)
• c) Montrer que les deux droites \((D_1)\) et \((D_2)\) sont sécantes en un point \(J\). (1 pt)
• d) Déterminer les coordonnées du point \(J\). (1 pt)

Exercice 2 : (6 pts)(Devoir Surveillé N° 3 – Semestre 1)

Soit le polynôme \(P\) défini par l’expression :

$$P(x) = x^3 – x^2 – 7x + 2$$

1. Montrer que \(0\) n’est pas une racine de \(P(x)\). (1 pt)
2. Montrer que \(2\) est une racine de \(P(x)\). (1 pt)
3. Déterminer le polynôme \(Q\) tel que \(P(x) = (x – 2)Q(x)\). (1 pt)
4. Montrer que \(Q(x)\) est divisible par \(x – 1\). (1 pt)
5. Déterminer \(a\) et \(b\) tels que : \(Q(x) = (x – 1)(ax + b)\). (1 pt)
6. Résoudre l’équation \(P(x) = 0\). (1 pt)

Exercice 3 : (2 pts)(Devoir Surveillé N° 3 – Semestre 1)

Soit \(R\) un polynôme défini par l’expression :

$$R(x) = (x – 2)^3 – (x – 2)^2 – (x – 1)^n, \quad n \in \mathbb{N}$$

1. Montrer qu’il existe un polynôme \(S(x)\) tel que \(R(x) = (x – 2)S(x)\). (1 pt)
2. Calculer \(R(1)\) en fonction de \(n\) puis déterminer les valeurs de \(n\) pour lesquels \(R(x)\) soit divisible par \(x – 1\). (1 pt)

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