Fonctions Logarithmes – Série d’Exercices

Exercice : 1

Déterminer l’ensemble de définition des fonctions suivantes :

1) \(f(x) = \dfrac{3}{1 – \ln(x)}\)

2) \(g(x) = \ln(5 – x) + \ln(x^2 – 3)\)

3) \(h(x) = \dfrac{\ln(x + 1)}{\ln^2(x)}\)

4) \(k(x) = \ln\left(\dfrac{\ln(x + 1)}{1 – \ln(x)}\right)\)

Exercice : 2

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations et les inéquations suivantes :

1) \(\ln(-x^2 + 2x) = 0\)

2) \(\ln(x + 4) + (x – 1) – \ln((x + 4)^2) = 0\)

3) \(\ln(-x^2 + 2x) > 0\)

4) \(\ln(x + 4) + (x – 1) – \ln((x + 4)^2) \leq 0\)

5) \(\ln(x) + \ln(x + 3) = 2\ln(2)\)

6) \(\sin(\ln(x)) = \sin\left(\ln\left(\dfrac{1}{2}\right)\right)\)

7) \(\ln(x) + \ln(x^2 – 5) > \ln(2) + \ln(x^2 – 3)\)

8) \(\ln^2(x) – \ln(x) – 2 < 0\)

Exercice : 3

Calculer les limites suivantes :

1) \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \ln(x) – x\)

2) \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \dfrac{\ln\left(\sqrt{x} + x^2\right)}{x – 1} + \dfrac{x}{\ln(x)}\)

3) \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(x + 1) – x}{x^2}\)

4) \(\displaystyle\lim_{x \to 1} \dfrac{\sin(\ln(x + 1) – x)}{x^2}\)

5) \(\displaystyle\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \dfrac{\ln(\tan(x))}{\tan(x) – 1}\)

Exercice : 4

Soit la suite \((u_n)_{n > 1}\) définie par : \((\forall n \in \mathbb{N}^* \setminus \{1\})\) ; \(u_n = 1 – \dfrac{1}{n^2}\)

1) Montrer que : \((\forall n \in \mathbb{N}^* \setminus \{1\})\)

\(u_2 \times u_3 \times … \times u_n = \dfrac{1}{2}\left(\dfrac{n + 1}{n}\right)\)

2) Calculer en fonction de \(n\)

\(S_n = \displaystyle\sum_{k=2}^{n} \ln(u_k)\)

3) Déterminer \(\lim S_n\)

Exercice : 5

Soient \(a\) et \(b\) deux réels strictement positifs, montrer que \((\forall a > 0)\) \((\forall b > 0)\)

\(\ln(2) + \dfrac{1}{2}(\ln(a) + \ln(b)) \leq \ln(a + b)\)

Exercice : 6

Soit \(g\) la fonction numérique définie sur \(I = [a, +\infty[\) par :

\(g(x) = \dfrac{x^2 – a^2}{2ax} – \ln\left(\dfrac{x}{a}\right)\) ; avec \(a \in \mathbb{R}_+^*\)

1) Étudier les variations de \(g\)

2) Montrer que : \(\forall x \in I\)

\(\ln\left(\dfrac{x}{a}\right) < \dfrac{x^2 – a^2}{2ax}\)

3) Montrer que : \(\forall x \in I\)

\(2\dfrac{x – a}{x + a} < \ln\left(\dfrac{x}{a}\right)\)

Exercice : 7

Soient \(a\) ; \(b\) et \(c\) trois réels strictement positifs. On considère la fonction \(f\) définie par :

\(f(x) = \ln(abx) – 3\ln(a + b + x)\)

1) Étudier les variations de \(f\)

2) En déduire que : \(\forall x \in \mathbb{R}_+^*\)

\(f(x) \leq f\left(\dfrac{a + b}{2}\right)\)

3) Montrer que : \(f\left(\dfrac{a + b}{2}\right) \leq -3\ln(3)\)

4) En déduire que : \(abc \leq \left(\dfrac{a + b + c}{3}\right)^3\)

Exercice : 8

On considère la fonction \(f_n\) définie sur \(]0, +\infty[\) par :

\(f_n(x) = \dfrac{\ln x}{n} – \dfrac{1}{x^n}\) avec \(n \in \mathbb{N}^* – \{1\}\)

1) Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to 0^+} f_n(x)\) et \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f_n(x)\)

2) Calculer \(f’_n(x)\) pour tout \(x \in ]0, +\infty[\)

3) Étudier les variations de \(f_n\)

4) En déduire que l’équation \(f_n(x) = 0\) admet une solution unique \(u_n\)

Exercice : 9

Partie I

On considère la fonction \(g\) définie sur \([0, +\infty[\) par : \(g(x) = x – (x + 1)\ln(x + 1)\)

1) Calculer \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} g(x)\)

2) Montrer que \((\forall x \in \mathbb{R}^+)\)

\(g'(x) = -\ln(x + 1)\)

3) En déduire que la fonction \(g\) est décroissante sur \(\mathbb{R}^+\), et que

\((\forall x \in \mathbb{R}^+)\) \(g(x) \leq 0\)

Partie II

On considère la fonction \(f\) définie sur \(]-1, +\infty[\) par : \(f(x) = \dfrac{\ln(x + 1) – x}{x}\)

Soit \((C_f)\) la courbe représentative de la fonction \(f\) dans un repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\)

avec \(||\vec{i}|| = 2cm\) et \(||\vec{j}|| = 2cm\)

1) Étudier la continuité de \(f\) au point \(x_0 = 0\) :

2) Étudier la dérivabilité de \(f\) en 0, puis donner une interprétation géométrique de ce résultat.

(Indication : \(\displaystyle\lim_{x \to 0} \dfrac{\ln(x + 1) – x}{x^2} = -\dfrac{1}{2}\))

3) Calculer : \(\displaystyle\lim_{x \to +\infty} f(x)\) ; \(\displaystyle\lim_{x \to (-1)^+} f(x)\), puis donner une interprétation géométrique de ces résultats.

4

a) Montrer que :

\(\forall x \in ]-1, 0[ \cup ]0, +\infty[\)

\(f'(x) = \dfrac{g(x)}{x^2(x + 1)}\)

b) Étudier les variations de \(f\), puis dresser sa table de variations

5) Construire \((C_f)\) dans le repère orthonormé \((O, \vec{i}, \vec{j})\)