La série d’exercice des suites numériques

Exercice 00

1) On considère la suite numérique \((U_n)\) définie par :

$$(\forall n \in \mathbb{N}): U_n = (n+2)(3-n)$$

1) Calculer \(U_0; U_1; U_2; U_3; U_4\)

2) Exprimer en fonction de \(n\) les termes suivants :

$$U_{n+1}; U_n^2; U_{n+2}; U_{3n}$$

3) Exprimer \(U_{n+1}\) en fonction de \(U_n\) et \(n\)

Exercice 01

2) On considère la suite numérique \((U_n)\) définie par :

$$U_0 = 6 \text{ et } (\forall n \in \mathbb{N}): U_{n+1} = \sqrt{U_n + 6}$$

a) calculer \(U_1\)

b) Montrer que \((\forall n \in \mathbb{N}): U_n \geq 3\)

3) on considère la suite numérique \((V_n)_{n \geq 1}\) définie par :

$$V_1 = 2 \text{ et } (\forall n \in \mathbb{N}^*): V_{n+1} = 1 + \frac{1}{V_n}$$

a) calculer \(V_2\) et \(V_3\)

b) Montrer que \((\forall n \in \mathbb{N}^*): \frac{3}{2} \leq V_n \leq 2\)

Exercice 02

On considère la suite numérique \((U_n)\) définie par :

$$U_0 = \frac{3}{2} \text{ et } (\forall n \in \mathbb{N}): U_{n+1} = \frac{U_n^2 + U_n}{U_n^2 + 1}$$

1) Montrer que \((\forall n \in \mathbb{N}): U_n > 1\)

2) Étudier la monotonie de la suite \((U_n)\)

3) Montrer que \((\forall n \in \mathbb{N}): U_{n+1} – 1 \leq \frac{1}{2}(U_n – 1)\)

Exercice 03

On considère la suite numérique \((U_n)\) définie par :

$$U_0 = 2 \text{ et } (\forall n \in \mathbb{N}): U_{n+1} = \frac{5U_n – 4}{U_n}$$

1) Montrer que \((\forall n \in \mathbb{N}): 2 \leq U_n \leq 4\)

2) Étudier la monotonie de la suite \((U_n)\)

3) Montrer que \((\forall n \in \mathbb{N}): 4 – U_{n+1} \leq \frac{1}{2}(4 – U_n)\)

4) Déduire que \((\forall n \in \mathbb{N}): 0 \leq 4 – U_n \leq \left(\frac{1}{2}\right)^{n-1}\)

Exercice 04

On considère la suite numérique \((U_n)\) définie par :

$$U_0 = 5 \text{ et } (\forall n \in \mathbb{N}): U_{n+1} = \frac{4U_n – 9}{U_n – 2}$$

1) Montrer que \(U_n > 3\)

2) on pose \((\forall n \in \mathbb{N}): W_n = \frac{1}{U_n – 3}\)

a) Montrer que \((W_n)\) est une suite arithmétique en précisant sa raison

b) En déduire \(W_n\) et \(U_n\) en fonction de \(n\).

c) Calculer en fonction de \(n\) la somme suivante :

$$S_n = W_0 + W_1 + \cdots + W_n$$

b) Montrer que la suite \((U_n)\) est décroissante.

Exercice 05

1) soit \((U_n)\) une suite arithmétique de raison 2 et de premier terme \(U_0 = -5\)

a- Calculer \(U_{10}\) et \(U_{30}\).

b- Calculer la somme \(S = U_0 + U_1 + \cdots + U_{30}\).

2) soit \((V_n)_{n \geq 1}\) une suite arithmétique telles que :

$$V_5 = -12 \text{ et } V_{11} = -30$$

a) Calculer la raison de la suite \((V_n)_{n \geq 1}\), et son premier terme.

b) Calculer la somme \(S = \displaystyle\sum_{k=5}^{11} V_k\)

Exercice 06

Soit \((U_n)\) une suite numérique définie par :

$$\begin{cases} U_0 = 2 \\ (\forall n \in \mathbb{N}): U_{n+1} = \frac{3}{2}U_n + 1 \end{cases}$$

On pose \((\forall n \in \mathbb{N}): V_n = U_n + 2\)

1) Calculer \(U_1\) et \(V_0\).

2) Démontrer que \((V_n)\) est une suite géométrique.

3) Exprimer \(V_n\) en fonction de \(n\) et en déduire \(U_n\) en fonction de \(n\)

4) On pose \((\forall n \in \mathbb{N}^*): S_n = V_0 + V_1 + \cdots + V_n\)

Calculer \(S_n\) en fonction de \(n\).

Exercice 07

1) Soit \((U_n)\) une suite géométrique de raison \(q = 3\) et de premier terme \(U_1 = -2\)

Calculer la somme \(S = U_1 + U_2 + \cdots + U_{10}\)

2) Soit \((V_n)\) une suite géométrique de raison \(q = \frac{1}{2}\) telle que \(V_3 = 5\)

Calculer la somme \(S’ = V_3 + V_4 + \cdots + V_{15}\)

Exercice 08

Soit \((U_n)\) une suite numérique définie par :

$$\begin{cases} U_0 = 0 \\ (\forall n \in \mathbb{N}): U_{n+1} = \frac{U_n – 3}{U_n + 5} \end{cases}$$

1) Calculer \(U_1\)

2) Montrer que \((\forall n \in \mathbb{N}): U_n > -1\).

3) a) Vérifier que pour tout \(n \in \mathbb{N}\) :

$$U_{n+1} – U_n = -\frac{(U_n + 1)(U_n + 3)}{U_n + 5}$$

4) on considère la suite \((V_n)\) définie par :

$$(\forall n \in \mathbb{N}): V_n = \frac{U_n + 1}{U_n + 3}$$

a) Montrer que \((V_n)\) est une suite géométrique de raison \(q = \frac{1}{2}\), puis calculer \(V_0\).

b) Exprimer \(V_n\) en fonction de \(n\).

c) Déduire que : \((\forall n \in \mathbb{N}): U_n = \dfrac{1 – \left(\frac{1}{2}\right)^n}{\frac{1}{3} \times \left(\frac{1}{2}\right)^n – 1}\)

4)

a) Montrer que \((\forall n \in \mathbb{N}): U_{n+1} + 1 \leq \frac{1}{2}(U_n + 1)\)

b) Déduire que \((\forall n \in \mathbb{N}): U_n + 1 \leq \left(\frac{1}{2}\right)^n\)

Exercice 09

Soit \((U_n)\) une suite numérique définie par :

$$\begin{cases} U_0 = 5 \\ (\forall n \in \mathbb{N}): U_{n+1} = \frac{5U_n – 4}{U_n} \end{cases}$$

1) a) Calculer \(U_1\).

b) Montrer que \((\forall n \in \mathbb{N}): U_n > 4\)

2) a) Vérifier que pour tout \(n\) de \(\mathbb{N}\)

$$U_{n+1} – U_n = \frac{(U_n – 1)(4 – U_n)}{U_n}$$

b) Montrer que la suite \((U_n)\) est décroissante.

3) on considère la suite \((V_n)\) définie par

$$(\forall n \in \mathbb{N}): V_n = \frac{U_n – 4}{U_n – 1}$$

a) Montrer que \((V_n)\) est une suite géométrique de raison \(q = \frac{1}{4}\);

puis calculer son premier terme \(V_0\).

b) Exprimer \(V_n\) en fonction de \(n\).

c) Déduire que : \((\forall n \in \mathbb{N}): U_n = \dfrac{1 – 4^{n+2}}{1 – 4^{n+1}}\)

4) on pose \((\forall n \in \mathbb{N}^*): S_n = V_0 + V_1 + \cdots + V_{n-1}\).

Montrer que \((\forall n \in \mathbb{N}^*): S_n = \dfrac{1}{3}\left(1 – \left(\frac{1}{4}\right)^n\right)\)

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Lycée : SIDI AMR OUHALLI | Les suites numériques | Professeur : H.AIT ISSOUMOUR