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Correction Complète du Devoir Maison N°2 de Mathématiques (1BAC Sciences)
Table of Contents
Correction Complète du Devoir Maison N°2 de Mathématiques (1BAC Sciences)
Bienvenue dans cette correction détaillée du Devoir Maison N°2 de Mathématiques, destinée aux élèves de 1ère Bac Sciences du système éducatif marocain.
Ce devoir aborde trois grands thèmes fondamentaux du programme :
- 🔢 Les suites numériques (récurrentes et géométriques)
- 📊 Les suites arithmétiques
- 📐 Le barycentre et la géométrie vectorielle
Chaque exercice est corrigé de manière détaillée et pédagogique, avec des explications étape par étape.
📚 Lycée SIDI AMER OUHALLI – AGHBALA | Professeur : H. Ait Issoumour
Exercice 1 : Étude Complète d’une Suite Numérique Récurrente
Cet exercice porte sur l’étude d’une suite récurrente définie par une relation de récurrence non linéaire.
📋 Énoncé
Soit \((u_n)\) une suite définie par :
\[u_0 = 2\]
\[\forall n \in \mathbb{N} : u_{n+1} = \frac{5u_n}{2u_n + 3}\]
Question 1 : Calculer u₁
Méthode : Pour calculer \(u_1\), il suffit d’appliquer la formule de récurrence avec \(n = 0\).
Solution :
\[u_1 = \frac{5u_0}{2u_0 + 3} = \frac{5 \times 2}{2 \times 2 + 3} = \frac{10}{7}\]
✅ Réponse : \(\boxed{u_1 = \dfrac{10}{7}}\)
Question 2a : Montrer que tous les termes sont supérieurs à 1
Objectif : Démontrer par récurrence que \(\forall n \in \mathbb{N}, u_n > 1\)
Démonstration par récurrence :
Initialisation : Pour \(n = 0\)
\[u_0 = 2 > 1 \quad \checkmark\]
La propriété est vraie au rang 0.
Hérédité : Supposons que \(u_n > 1\) pour un certain \(n \in \mathbb{N}\).
Calculons \(u_{n+1} – 1\) :
\[u_{n+1} – 1 = \frac{5u_n}{2u_n + 3} – 1 = \frac{3u_n – 3}{2u_n + 3} = \frac{3(u_n – 1)}{2u_n + 3}\]
Puisque \(u_n > 1\) (hypothèse de récurrence) :
- \(u_n – 1 > 0\)
- \(2u_n + 3 > 0\)
Donc \(u_{n+1} – 1 > 0\), c’est-à-dire \(u_{n+1} > 1\).
Conclusion : Par le principe de récurrence, \(\forall n \in \mathbb{N}, u_n > 1\).
Question 2b : Vérifier une formule
À vérifier : \(u_{n+1} – u_n = \dfrac{2u_n(1-u_n)}{2u_n+3}\)
Solution :
\[u_{n+1} – u_n = \frac{5u_n}{2u_n + 3} – u_n = \frac{2u_n – 2u_n^2}{2u_n + 3} = \frac{2u_n(1 – u_n)}{2u_n + 3} \quad \checkmark\]
Question 2c : Monotonie de la suite
D’après la question 2b : \(u_{n+1} – u_n = \dfrac{2u_n(1 – u_n)}{2u_n + 3}\)
Étude du signe :
- \(2u_n > 0\) (car \(u_n > 0\))
- \(2u_n + 3 > 0\)
- \(1 – u_n < 0\) (car \(u_n > 1\))
Donc \(u_{n+1} – u_n < 0\)
✅ Conclusion : La suite \((u_n)\) est strictement décroissante.
Question 3a : Suite géométrique auxiliaire
Changement de variable : On pose \(v_n = \dfrac{u_n – 1}{u_n}\) pour tout \(n \in \mathbb{N}\)
Solution :
\[v_{n+1} = \frac{u_{n+1} – 1}{u_{n+1}} = \frac{3(u_n – 1)}{5u_n} = \frac{3}{5} \times \frac{u_n – 1}{u_n} = \frac{3}{5} v_n\]
Premier terme : \(v_0 = \dfrac{u_0 – 1}{u_0} = \dfrac{1}{2}\)
✅ Conclusion : \((v_n)\) est géométrique de raison \(q = \dfrac{3}{5}\) et \(v_0 = \dfrac{1}{2}\)
Question 3b : Expression de vn
Puisque \((v_n)\) est géométrique :
\[v_n = v_0 \times q^n = \frac{1}{2} \left(\frac{3}{5}\right)^n\]
✅ Réponse : \(\boxed{v_n = \dfrac{1}{2} \left(\dfrac{3}{5}\right)^n}\)
Question 3c : Expression de un
De \(v_n = \dfrac{u_n – 1}{u_n}\), on déduit :
\[u_n = \frac{1}{1 – v_n} = \frac{2}{2 – \left(\frac{3}{5}\right)^n}\]
✅ Réponse : \(\boxed{u_n = \dfrac{2}{2 – \left(\dfrac{3}{5}\right)^n}}\)
Question 4a : Démontrer une inégalité
À démontrer : \(u_{n+1} \leq \dfrac{5}{3}u_n\)
Solution :
\[\frac{5u_n}{2u_n + 3} \leq \frac{5}{3}u_n \Longleftrightarrow 15u_n \leq 10u_n^2 + 15u_n \Longleftrightarrow 0 \leq 10u_n^2\]
Cette inégalité est toujours vraie. ✓
Question 4b : Majoration de un
Par récurrence : \(u_n \leq 2\left(\dfrac{5}{3}\right)^n\)
Question 5 : Calculer la somme Sn
Formule : Pour une suite géométrique, la somme des n premiers termes est :
\[S_n = v_0 \times \frac{1 – q^n}{1 – q} = \frac{1}{2} \times \frac{1 – \left(\frac{3}{5}\right)^n}{\frac{2}{5}} = \frac{5}{4}\left[1 – \left(\frac{3}{5}\right)^n\right]\]
✅ Réponse : \(\boxed{S_n = \dfrac{5}{4}\left[1 – \left(\dfrac{3}{5}\right)^n\right]}\)
Question 6 : Calculer une autre somme
Puisque \(\dfrac{1}{u_n} = 1 – v_n\), on a :
\[\sum_{k=0}^{n-1} \frac{1}{u_k} = n – S_n = n – \frac{5}{4}\left[1 – \left(\frac{3}{5}\right)^n\right]\]
✅ Réponse : \(\displaystyle\sum_{k=0}^{n-1} \dfrac{1}{u_k} = n – \dfrac{5}{4}\left[1 – \left(\dfrac{3}{5}\right)^n\right]\)
Exercice 2 : Suite Arithmétique
Cet exercice montre comment transformer une suite récurrente en suite arithmétique par changement de variable.
📋 Énoncé
Soit \((u_n)_{n \geq 1}\) définie par :
\[u_1 = -1 \quad \text{et} \quad u_{n+1} = \frac{2u_n}{3u_n + 2}\]
On pose : \(v_n = \dfrac{2}{u_n}\)
Question 1 : Calculer v₁
Solution :
\[v_1 = \frac{2}{u_1} = \frac{2}{-1} = -2\]
✅ Réponse : \(\boxed{v_1 = -2}\)
Question 2a : Montrer que (vn) est arithmétique
Méthode : Calculer \(v_{n+1} – v_n\)
Solution :
\[v_{n+1} = \frac{2}{u_{n+1}} = \frac{2}{\frac{2u_n}{3u_n + 2}} = \frac{3u_n + 2}{u_n} = 3 + \frac{2}{u_n} = 3 + v_n\]
Donc \(v_{n+1} – v_n = 3\) (constante)
✅ Conclusion : \((v_n)\) est arithmétique de raison \(r = 3\)
Question 2b : Expressions de vn et un
Expression de vn :
\[v_n = v_1 + (n-1)r = -2 + 3(n-1) = 3n – 5\]
Expression de un :
Puisque \(v_n = \dfrac{2}{u_n}\), on a :
\[u_n = \frac{2}{v_n} = \frac{2}{3n – 5}\]
✅ Réponse : \(\boxed{v_n = 3n – 5}\) et \(\boxed{u_n = \dfrac{2}{3n – 5}}\)
Exercice 3 : Barycentre et Géométrie Vectorielle
Cet exercice aborde le barycentre et les ensembles de points en géométrie vectorielle.
📋 Données
ABCD est un parallélogramme. On considère :
- G barycentre de (B; -4) et (C; 9)
- I barycentre de (A; 3) et (B; 1)
- J tel que : \(\vec{AJ} = \dfrac{2}{3}\vec{AB} + \vec{BC}\)
PARTIE I : Barycentre
Question 1 : Montrer que J est le barycentre de C et D
Méthode : Utilisation de la relation de Chasles
Étape 1 : Expression de \(\vec{AJ}\)
\[\vec{BC} = -\vec{AB} + \vec{AC}\]
\[\vec{AJ} = \frac{2}{3}\vec{AB} – \vec{AB} + \vec{AC} = -\frac{1}{3}\vec{AB} + \vec{AC}\]
Étape 2 : Propriété du parallélogramme
Dans le parallélogramme : \(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}\)
\[\vec{AJ} = -\frac{1}{3}\vec{AB} + \vec{AB} + \vec{AD} = \frac{2}{3}\vec{AB} + \vec{AD}\]
Étape 3 : Identification
En multipliant par 3 et en utilisant \(\vec{AB} = \vec{AC} – \vec{AD}\) :
\[3\vec{AJ} = 2\vec{AC} + \vec{AD}\]
✅ Conclusion : J est le barycentre de (C; 2) et (D; 1)
Question 2 : Montrer que I, J et G sont alignés
Calculs préliminaires :
- \(\vec{AI} = \dfrac{1}{4}\vec{AB}\)
- \(\vec{AG} = \vec{AB} + \dfrac{9}{5}\vec{AD}\)
Calcul de \(\vec{IJ}\) :
\[\vec{IJ} = -\vec{AI} + \vec{AJ} = -\frac{1}{4}\vec{AB} + \frac{2}{3}\vec{AB} + \vec{AD} = \frac{5}{12}\vec{AB} + \vec{AD}\]
Calcul de \(\vec{IG}\) :
\[\vec{IG} = -\vec{AI} + \vec{AG} = \frac{3}{4}\vec{AB} + \frac{9}{5}\vec{AD} = \frac{9}{5}\left(\frac{5}{12}\vec{AB} + \vec{AD}\right) = \frac{9}{5}\vec{IJ}\]
✅ Conclusion : \(\vec{IG} = \dfrac{9}{5}\vec{IJ}\), donc I, J et G sont alignés
PARTIE II : Ensembles de Points
Question 1 : Ensemble E₁
Équation : \(\|\vec{3MA} – \vec{2MB}\| = \|\vec{2MA} – \vec{3MB}\|\)
Méthode : Utilisation du barycentre
- G₁ barycentre de (A; 3) et (B; -2) : \(\vec{MG_1} = 3\vec{MA} – 2\vec{MB}\)
- G₂ barycentre de (A; 2) et (B; -3) : \(\vec{MG_2} = 3\vec{MB} – 2\vec{MA}\)
L’équation devient : \(MG_1 = MG_2\)
✅ Réponse : E₁ est la médiatrice du segment [AB]
Question 2 : Ensemble E₂
Équation : \(\|\vec{4MA} + \vec{MB}\| = 3\)
Méthode : Utilisation du barycentre
On pose G barycentre de (A; 4) et (B; 1) :
\[5\vec{MG} = 4\vec{MA} + \vec{MB}\]
L’équation devient : \(5\|\vec{MG}\| = 3 \Rightarrow MG = \dfrac{3}{5}\)
Position de G : \(\vec{AG} = \dfrac{1}{5}\vec{AB}\)
✅ Réponse : E₂ est le cercle de centre G et rayon 3/5
Conclusion Pédagogique et Conseils
🎯 Points Clés à Retenir
📊 Sur les Suites Numériques :
- La récurrence comporte 3 étapes : initialisation, hérédité, conclusion
- Le changement de variable simplifie l’étude des suites
- Pour la monotonie : étudier le signe de \(u_{n+1} – u_n\)
- Suite géométrique : \(v_n = v_0 \times q^n\)
📊 Sur les Suites Arithmétiques :
- Vérifier : \(v_{n+1} – v_n = r\) (constante)
- Formule : \(u_n = u_p + (n-p)r\)
- Attention à l’indice de départ
📐 Sur le Barycentre :
- Définition : \((\sum \alpha_i)\vec{MG} = \sum \alpha_i\vec{MA_i}\)
- Toujours utiliser la relation de Chasles
- Pour l’alignement : prouver la colinéarité de deux vecteurs
- Parallélogramme : \(\vec{BC} = \vec{AD}\) et \(\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}\)
💡 Conseils pour Progresser
- Comprendre plutôt que mémoriser : Analysez la logique de chaque étape
- Pratiquer régulièrement : Refaites les exercices sans regarder la correction
- Justifier chaque étape : Chaque affirmation doit être prouvée
- Vérifier vos résultats : Testez la cohérence de vos réponses
⚠️ Erreurs Fréquentes à Éviter
- Ne pas confondre suite arithmétique et géométrique
- Oublier de vérifier les conditions d’application
- Confondre colinéarité et égalité de vecteurs
- Dans les récurrences : bien séparer les 3 étapes
📌 Cette correction est conforme aux orientations pédagogiques du système éducatif marocain pour le niveau 1BAC Sciences.
Bon courage dans vos révisions ! 🎓
